젠센부등식과 그 증명방법 알아보기

젠센부등식이란?

함수 $f(x)$가 구간 $I$에서 아래로 볼록하면 $i=1,2, \cdots , n$에 대해 $x_1 \in I$이고 $w_1 >0$, $w_1+w_2+ \cdots + w_n =1$일 때 $w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+ \cdots + w_nf(x_n) \geq f(w_1x_1+w_2x_2 + \cdots + w_nx_n)$이 성립한다.

또한 $w=\frac{1}{n}$이면 $\frac{1}{n} (f(x_1)+f(x_2)+ \cdots + f(x_n)) \geq f(\frac{x_1+x_2+ \cdots + x_n}{n})$ 이다.

 

증명방법

수학적 귀납법으로 증명한다.

 

$n=2$일 때 볼록함수의 정의에 의해 $w_1f(x_1)+w_2f(x_2) \geq (w_1x_1 + w_2x_2)$ 가 성립한다. (등호는 $x_1=x_2$일때 성립)

$n=k$일 때 $w_k >0$, $w_1+w_2 + \cdots + w_k =1$이고

$w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+ \cdots + w_kf(x_k) \geq f(w_1x_1 + w_2x_2 + \cdots +w_kx_k)$가 성립한다고 가정하자.

 

$w_1>0$이고 $w_1+w_2+\cdots + w_k+w_{k+1}=1$이라고 하면

$v_1 = \frac{w_1}{1-w_{k+1}}$, $(i=1,2,\cdots, k)$라 하면 $v_1 >0$이고

$v_1+v_2+ \cdots + v_k=1$이므로 가정에 의해

$v_1f(x_1)+v_2f(x_2)+ \cdots +v_kf(x_k) \geq f(v_1x_1+v_2x_2 + \cdots + v_kx_k) $가 성립한다. 즉,

$w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+\cdots + w_kf(x_k) \geq (1-w_{k+1} ) f( \frac{1}{1-w_{k+1}} (w_1x_1+w_2x_2 + \cdots +w_kx_k) )$가 성립한다.

두 식의 양변에 $w_{k+1}f(x_{x+1})$를 더하면

$w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+\cdots + w_kf(x_k)+w_{k+1}f(x_{k+1})$

$\geq (1-w_{k+1})f(\frac{1}{1-w_{k+1}}(w_1x_1+w_2x_2+ \cdots + w_kx_k) )+ w_{k+1}f(x_{k+1})$ 이다.

 

이 식의 우변은 $1-w_{k+1}>0$, $w_{k+1}>0$, $(1-w_{k+1})+w_{k+1}=1$이고

 

$n=2$일때 부등식이 성립하므로

$(1-w_{k+1}) f(\frac{1}{1-w_{k+1}} (w_1x_1+w_2x_2+ \cdots +w_kx_k) ) + w_{k+1}f(x_{k+1})$

$\geq f(\frac{1-w_{k+1}}{1-w_{k+1}} (w_1x_1+w_2x_2+ \cdots+ w_kx_k)+w_{k+1}x_{k+1} )$

$=f(w_1x_1+w_2x_2+ \cdots + w_kx_k + w_{k+1}x_{k+1})$ 이다.

 

즉, $w_1f(x_1) + w_2f(x_2) + \cdots + w_kf(x_k) + w_{k+1}f(x_{k+1}) $

$ \geq f(w_1x_1 + w_2x_2 + \cdots + w_kx_k + w_{k+1}x_{k+1})$ 가 성립한다.

따라서 $n=k+1$일때도 성립한다. (등호는 $x_1 = x_2 = \cdots = x_{k+1}$일때 성립)

 

따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 $n$에서 젠센부등식이 성립한다.