코시 슈바르츠 부등식과 그 증명방법 알아보기

코시슈바르츠 부등식

임의의 실수 $a_1, a_2, \cdots, a_n$과 $b_1, b_2, \cdots , b_n$에 대하여

$(a_1b_1+a_2b_2+ \cdots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$이 성립한다. 이때 등호는 $b_i = ma_i$ ($i=1,2,3, \cdots, n$)일때 성립한다.

 

증명

$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \cdots + a_n^2 =0$이라 하자. $a_1 = a_2 = \cdots = a_n =0$이므로 등호가 성립한다.

 

$a_1^2 + a_2^2 +a_3^2 + \cdots +a_n^2 \neq 0$이라 하면, 이차다항식 $p(x) = (a_1x-b_1)^2 +(a_2x-b^2)^2 + \cdots +(a_nx-b_n)^2)$은 모든 $x$에 대해서 항상 $p(x) \geq 0$ 이고, $p(x)= (a_1^2 +a_2^2 + \cdots + a_n^2)x^2 -2(a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)x + (b_1 + b_2 + \cdots + b_n^2)$ 에서

 

판별식 $\frac{D}{4} = (a_1b_1+a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 - (a_1^2 +a_2^2 + \cdots + a_n^2 ) \cdots (b_1^2 + b_2^2 + \cdots +b_n^2) \leq 0$이다.

 

따라서 $(a_1b_1+a_2b_2+ \cdots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$ 가 성립한다.

 

등호가 성립하려면 판별식 $D=0$ 이고 즉, $p(x)$는 완전제곱식이므로

$p(x) = (a_1^2 +a_2^2 + \cdots + a_n^2 ) (x-m)^2$ 이다. (단, $m$은 실수이다.)

 

$p(m)=0$이고 $p(x) = (a_1m-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_nm-b_n)^2 =0$이므로

$b_i = ma_ i$ ($i=1,2, \cdots , n$) 이 성립한다.

 

간단한 코시슈바르츠 부등식

(1) $(ax+by)^2 \leq (a^2+b^2)(x^2+y^2)$ (단 $a:x=b:y$일때 등호 성립)

(2) $(ax+by+cz)^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$ (단 $a:x=b:y=c:z$일때 등호 성립)