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수학793

방멱정리 증명 방법 알아보기 방멱이란 무엇인가? 방멱이란 어떤 한 점 $\rm P$를 지나는 직선이 중심이 $\rm O$인 어떤 원과 만나는 두 점을 각각 A, B라 할 때, 두 선분의 곱 $\overline{\rm PA} \cdot \overline{\rm PB}$ 이다. 1. 두 현에 대한 방멱정리 $\overline{\rm PA} \cdot \overline{\rm PB} = \overline{\rm PC} \cdot \overline{\rm PD}$ 증명 $\overline{\rm AC}$, $\overline{\rm BC}$를 그은 후 원주각을 이용한다. $\angle \rm CAB = \angle CDB$이고 맞꼭지각에 의해 $\angle \rm APC = \angle DPB$ 이다. 따라서 $\bigtriangleup .. 2022. 12. 18.
4n+3 형태의 소수는 무한임을 증명하기 소수의 개수는 무한히 많이 있다. 또한 $4n+3$꼴의 소수 역시 무한개이다. 이를 증명해보자. $4n+3$꼴의 소수 역시 무한히 많다. (증명) $4n+3$ 형태의 소수가 유한개라고 가정하자. 이 형태의 소수 전체를 $q_1, q_2, \cdots, q_s $ 라 하면, 이때 $N = 4q_1q_2 \cdots q_s -1 = 4(q_1q_2 \cdots q_s -1) +3 $이라 두고 $N = p_1p_2 \cdots p_k$ (이때 $p_1, p_2, \cdots, p_k$는 소수) 라 하면, $N$이 홀수이므로 $N$의 소인수 $p_1$, $p_2$, $\cdots$, $p_k$는 모두 홀수인 소수이고, 따라서 이 소수의 형태는 $4n+1$ 또는 $4n+3$ 형태 중 하나인 소수이다. $4n+1$.. 2022. 12. 17.
여러가지 함수의 급수 전개 맥크로린 급수(Maclaurin's series) 함수 $f(x)$에 대해서 $f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{n}(0)}{n!}x^n + \cdots$ 여러가지 함수의 급수 전개 삼각함수, 지수함수, 유리함수, 무리함수 등을 급수전개할 수 있다. 테일러, 매크로린 급수 전개를 이용해서 다양한 함수의 급수전개식을 살펴보자. 1. $\sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ 2. $\cos x = 1-\frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$ 3. $\tan x = \s.. 2022. 12. 16.
점화식의 특성다항식 이용해 일반항 구하는 방법 특성다항식의 정의 $c_1, c_2, c_3, \cdots, c_k$ 가 상수이며 $c_k \neq 0$일 때, 다항식 $x^k - c_1x^{k-1} - c_2x^{k-2} - \cdots - c_{k-1}x -c_k $를 점화식 $a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2}+ \cdots + c_{k-1}a_{n-k+1} + c_ka_{n-k}$ 의 특성다항식이라 한다. 예를 들어 점화식 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$의 특성다항식은 $x^2-x-1$이라고 한다. 특성다항식의 다양한 정리에 대해 알아보자. 특성다항식 정리 1 $c_1, c_2$가 상수이고, $c_2 \neq 0$일 때 $a_n = c_1a_{n-1}+ c_2a_{n-2}$ ($n \geq 2$)라 하자. 이때 .. 2022. 12. 15.
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