황금비의 작도방법

가장 아름답고 보기좋은 형태라고 알려져있는 황금비와 그 작도방법에 대해 알아보자.

 

황금비(Golden Ratio)란?

황금비는 그리스의 수학자 에우독소스가 명명했다고 알려져있다. 기호는 $\emptyset$(파이) 로 보통 표현하는데, 그리스의 조각가 피디아스(Phidias)에서 그리스어 머릿글자 파이를 따온 것이다.

황금비

황금비는 선분을 두 개의 부분으로 나눌 때, 선분 전체길이에 대한 긴선분 길이의 비는 긴선분 길이의 비와 짧은 선분의 길이의 비와 같도록 할 때 나오는 비를 말한다. 수학적으로 표현하면,

 

$\overline{\rm AB} : \overline{\rm AP} = \overline{\rm AP} : \overline{\rm PB}$ 가 성립할 때, $\overline{\rm AP} : \overline{\rm PB}$를 황금비라 한다.

 

$x:1=1:1-x$에서 $x(x-1)=1$ 이다. 즉, $x^2-x-1=0$ 이 성립하고, 근의공식에 의해

$x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ 에서 양수 $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 이다.

 

황금 분할 점 작도하기

선분 $\rm AB$가 주어져 있을 때, 황금분할점을 작도해보자.

황금분할점 작도

먼저 $\overline{\rm BC} = \frac{1}{2} \overline{\rm AB}$가 되는 직각삼각형 ABC를 작도한다. 점 C를 중심으로 하고 $\rm BC$를 반지름으로 하는 원을 그린 후 $\overline{\rm AC}$와 만나는 점을 $\rm D$라 하자. 점 $\rm A$를 중심으로 하고 $\overline{\rm AD}$를 반지름으로 하는 원을 그려서 $\overline{\rm AB}$와 만나는 점을 P라 하자. 이 점이 선분 AB의 황금분할점이다. 왜냐하면,

$\frac{\overline{\rm AB}}{\overline{\rm AP}} = \frac{\overline{\rm AP}}{\overline{\rm PB}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 이기 때문이다.

 

황금사각형 작도하기

황금사각형

황금사각형이란 위의 그림과 같이 가로와 세로의 길이의 비가 황금비를 이루는 사각형을 말한다. 이 황금 사각형을 작도할 수 있는 두가지 방법을 알아보자.

 

황금사각형 작도방법 1

황금사각형 작도1

1. 세 변의 길이의 비가 각각 $1:2:\sqrt{5}$ 인 직각삼각형을 작도한다.

2. 직각삼각형 4개를 위의 그림과 같이 붙여서 직사각형 ABCD를 만든다.

3. 이때, 바깥쪽 직사각형의 가로와 세로의 길이의 비가 $2:1+ \sqrt{5}$ 이므로 사각형 ABCD는 황금 사각형이다.

 

황금사각형 작도방법 2

황금사각형 작도2

1. 그림과 같이 정사각형 ABCD를 작도하고 선분 AD의 중점을 F, 선분 BC의 중점을 E라 하자. 선분 EF로 정사각형을 이등분한다.

2. 선분 ED를 그린다.

3. 점 E를 중심으로 하고 반지름의 길이가 선분 ED인 원을 작도하고, 선분 BC의 연장선과 만나는 점을 G라 하자.

4. 점 A. B, G를 기준으로 직사각형 ABGH를 작도하면, 이 사각형은 황금사각형이다.

 

황금 나선 작도방법

황금나선이란 황금비를 이루면서 회전하는 나선을 말한다. 황금 사각형을 이용해서 황금 나선을 만들어보자.

황금나선

황금사각형 안에서 정사각형 하나를 작도한다. 이때, 정사각형과 다른 황금사각형이 생긴다. 위의 그림과 같이 정사각형 안에 호를 반복해서 그리면 황금 나선을 작도할 수 있다.

 

황금삼각형

황금삼각형

황금 삼각형은 각 A가 36도이고 두 밑각이 72도인 이등변삼각형이다. 그 이유는 밑변에 대한 빗변의 비가 황금비를 나타내기 때문이다.

 

황금삼각형 작도방법

황금삼각형 작도

1. 선분 BC의 수직이등분선을 작도한다. 이때, 선분 BC의 길이는 2a이고, 그 중점을 O라 하자.

2. 선분 BC의 수직이등분선 위에 $\overline{\rm BC} = \overline{\rm OM}$ 인 점 M을 잡는다.

3. 선분 BM의 연장선 위에 $\overline{\rm MP}=a$인 P를 잡으면 $\overline{\rm BP} = (1+\sqrt{5})a$ 가 성립한다.

4. 점 B를 중심, 대각선 BP를 반지름으로 하는 원을 그려서 선분 BC의 수직이등분선과 만나는 점을 A라 하면,

$\overline{\rm AB} : \overline{\rm BC} = 1+\sqrt{5} : 2$ 이다.

 

이때 삼각형 ABC는 황금삼각형이다.

황금비 도형 작도하기