정오각형에서 황금비 찾기

정오각형

정오각형

정오각형은 각 변의 길이가 모두 같은 도형이다. 정오각형의 내각의 크기의 합은 $540^{\circ}$ 이고 한 내각의 크기는 $108^{\circ}$ 이다.

 

정오각형에서 대각선을 그으면 황금비를 발견할 수 있다. 이 황금비를 찾아보자.

 

정오각형 황금비

정오각형 황금비 찾기

다음 그림에서 정오각형의 한 변의 길이를 1이라 하고, 대각선의 길이는 $x$라 하자. 선분 AB, 선분 EC, 선분 AE와 선분 BD, 선분 CD와 선분 BE 가 각각 평행하다. 따라서 삼각형 ABE와 삼각형 FCD는 닮음이다. 따라서 $\rm AB : BE = FC : CD$ 가 성립한다.

 

$\overline{\rm FC} = \overline{\rm EC} - \overline{\rm EF}$ 가 성립한다. 따라서 $\overline{\rm FC} = x-1$ 이다.

또한 위 식에서  $\rm AB : BE = FC : CD$ 가 성립하므로 $1:x=x-1:1 \Rightarrow x^2-x-1=0$ 이다. 방정식을 풀면 $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 이다. 즉, 황금비이다. 

대각선끼리 황금비율로 나눈다.

따라서 정오각형의 대각선으로 만들어지는 별 모양은 한 번에 서로 만나는 다른 변을 황금분할로 나눈다.

대각선으로 나누어진 정오각형 황금비

황금비가 피보나치 수열의 연관성 수학적으로 증명하기