톨레미 정리 알아보기

톨레미 정리(Ptolemy의 정리)란?

톨레미 정리

사각형 $\rm ABCD$가 원에 내접하면, 두 쌍의 대변의 길이의 곱끼리의 합은 대각선의 길이의 곱과 같다.

즉, $\overline{\rm AB} \times \overline{\rm CD} + \overline{\rm BC} \times \overline{\rm DA} = \overline{\rm AC} \times \overline{\rm BD}$ 이다.

 

증명

정사각형인 경우

1) 원에 내접하는 사각형 $\rm ABCD$가 정사각형이면, $\overline{\rm AC} = \overline{\rm BD} = \sqrt{2} \cdot \overline{\rm AB}$ 이다.(즉, 톨레미 정리가 성립)

 

2) 정사각형이 아닌 경우에 일반성을 잃지 않고 $\overline{\rm AB} < \overline{\rm AD}$라 하자.

정사각형이 아닌 경우

이때 호 $\rm AD$ 위에 $\overline{\rm DE} = \overline{\rm AB}$ 가 성립하도록 점 $\rm E$를 설정하면, $\overline{\rm AE} // \overline{\rm BD}$ 이다. 즉, 삼각형 $\rm ABC$와 삼각형 $\rm EDB$가 합동이므로 $\overline{\rm AD} = \overline{\rm BE}$ 이다.

 

대각선 $\rm AC, BD$의 교점을 $\rm P$라 하자. $\angle \rm CPD = \theta$라 하면, 사각형 $\rm ABCD$의 넓이는 $\frac{1}{2} \cdot \overline{\rm AC} \cdot \overline{\rm BD} \cdot \sin \theta$ 이다.

 

사각형 $\rm EBCD$에서 $\angle \rm EDC = 180^{\circ} - \angle EBC$ 이고

$\theta = \angle \rm CPD = \angle DAC + \angle ADB$

$= \angle \rm DBC + \angle \rm EBD = \angle EBC$이므로

사각형 $\rm BCDE$의 넓이는 삼각형 $\rm ECD$와 $\rm EBC$의 넓이의 합과 같다. 즉.

사각형 $\rm BCDE$의 넓이는 $\frac{1}{2} \cdot \overline{\rm AD} \cdot \overline{\rm BC} \cdot \sin \theta + \frac{1}{2} \cdot \overline{\rm AB} \cdot \overline{\rm CD} \cdot \sin \theta$이다.

 

또한 사각형 $\rm BCDE$와 $\rm ABCD$의 넓이가 같으므로  $\overline{\rm AB} \times \overline{\rm CD} + \overline{\rm BC} \times \overline{\rm DA} = \overline{\rm AC} \times \overline{\rm BD}$ 가 성립한다.

 

심슨정리를 이용한 톨레미정리 증명방법

심슨 정리로 증명하기

원에 내접하는 사각형 $\rm ABCD$에서 꼭짓점 $\rm D$에서 삼각형 $\rm ABC$의 세 변에 수선의 발을 내려서 수선의 발을 각각 $\rm A' , B', C'$라 하자. 네점 $\rm A', D, B' C$ 이 한 원 위에 존재한다. $\overline{\rm CD}$가 원의 지름이므로 사인정리에 의해 $\overline{\rm A'B'} = \overline{\rm CD} \cdot \sin \angle \rm A'DB' = \overline{\rm CD} \cdot \sin \angle \rm ACB$이다.

 

또한 원에 내접하는 두 사각형 $\rm AC'B'D'$, $\rm C'BA'D$에서 등식 $\overline{\rm B'C'} = \overline{\rm AD} \cdot sin \rm CAB$, $\overline{\rm C'A'} = \overline{\rm BD} \cdot \sin \rm CBA$이다.

 

심슨정리에 의해 $\overline{\rm A'B'} + \overline{\rm B'C'} = \overline{\rm C'A'}$ 이다.

따라서 $\overline{\rm CD} \cdot \sin \angle \rm ACB + \overline{\rm AD} \cdot \sin \angle \rm CAB = \overline{\rm BD} \cdot \sin \angle \rm CBA$이다.

 

삼각형 $\rm ABC$에서 사인정리에 의해

$\overline{\rm AB} = 2R \cdot \sin \angle \rm ACB$, $\overline{\rm BC} = 2R \cdot \sin \angle \rm CAB$, $\overline{\rm AC} = 2R \cdot \sin \angle \rm CBA$이다.

 

따라서 $\overline{\rm CD} \cdot \frac{\overline{\rm AB}}{2R} + \overline{\rm AD} \cdot \frac{\overline{\rm BC}}{2R} = \overline{\rm BD} \cdot  \frac{\overline{\rm AC}}{2R}$ 이다.

 

그러므로 $\overline{\rm AB} \times \overline{\rm CD} + \overline{\rm BC} \times \overline{\rm DA} = \overline{\rm AC} \times \overline{\rm BD}$ 이다.