오일러의 도형문제 증명하기

오일러의 도형문제

오일러의 도형문제

사각형 $\rm ABCD$ 의 네 변을 각각 $a$, $b$, $c$, $d$라 하고 대각선 $\rm BD$, $\rm AC$ 의 중점을 각각 $\rm E$, $\rm F$라 하면 $a^2+b^2+c^2+d^2 = \overline{\rm BD}^2 +\overline{\rm AC}^2 +4 \overline{\rm EF}^2 $ 이 성립한다.

 

증명

증명방법

삼각형 $\rm ABC$와 삼각형$\rm ACD$ 에서 파푸스의 중선정리에 의해

 

$a^2 + b^2 = 2(\overline{\rm BF}^2 + \overline{\rm AF}^2)$, $c^2+d^2 = 2(\overline{\rm DF}^2 + \overline{\rm AF}^2)$ 이다. 즉, $a^2 +b^2 +c^2 +d^2=2(\overline{\rm BF}^2 + \overline{\rm DF}^2) + 4\overline{\rm AF}^2$↔①

 

또한 삼각형 $\rm BFD$에서 파푸스의 중선정리를 적용하면

$\overline{\rm BF}^2 + \overline{\rm DF}^2 = 2(\overline{EF}^2+\overline{DE}^2)$ 이다.

 

또한 $2\overline{\rm AF} = \overline{\rm AC}$ 에서 $4\overline{\rm AF}^2 = \overline{\rm AC}^2$ 이고

$2\overline{\rm DE} = \overline{\rm BD}$에서 $4 \overline{\rm DE}^2 = \overline{\rm BD}^2 $ 이다. 

 

이를 모두 위의 ① 식에 대입하면,

 

$a^2+b^2+c^2+d^2 = \overline{\rm BD}^2 +\overline{\rm AC}^2 +4 \overline{\rm EF}^2$ 이다.