심슨 정리 증명하기

심슨 정리

심슨 정리

삼각형의 외접원 위에 있는 임의의 한 점에서 세 변에 그은 수선의 발은 모두 한 직선 위에 존재한다.

 

증명

위 그림과 같이 점 $\rm P$를 삼각형 $\rm ABC$의 외접원의 호 $\rm BC$ 위의 한 점이라 하고 $\rm P$에서 $\overline{\rm BC}$, $\overline{\rm CA}$, $\overline{\rm AB}$에 그은 수선의 발을 각각 $\rm D$, $\rm E$, $\rm F$ 라 하자. 이때 $\angle \rm PDB = \angle \rm PEC = \angle \rm PEA = 90^{\circ}$ 이므로 $\rm P$, $\rm D$, $\rm B$, $\rm F$와 $\rm P$, $\rm D$, $\rm E$, $\rm C$는 각각 하나의 원 위에 존재한다.( $\because$ 원에 내접하는 사각형) 따라서 $\angle \rm PDF = \angle \rm PBF$, $\angle \rm PDE + \angle \rm PCE = 180^{\circ}$ 이다. 또한 $\rm A$, $\rm B$, $\rm P$, $\rm C$ 가 한 원 위에 존재하므로 $\angle \rm PBF = \angle \rm PCE$ 이다. 즉, $\angle \rm PDE + \angle \rm PDF = 180^{\circ}$ 이다. 따라서 세 점 $\rm D$, $\rm E$, $\rm F$는 한 직선 위에 있다. (여기서 세 점이 한 직선을 가지기 위한 증명방법을 확인할 수 있다.)

 

심슨선이란?

직선 $\rm FDE$를 점 $\rm P$에 대한 삼각형 $\rm ABC$의 심슨선이라고 한다.(빨간색 선)

 

심슨의 역정리

한 점을 지나서 삼각형 세 변에 그은 수선의 발이 한직선 위에 있다면, 그 점은 삼각형의 외접원 위에 존재한다.

심슨 정리

증명

위의 그림에서 점$\rm D, E, F$가 한 직선위에 있고, 네점 $\rm P, D, B, F$가 한 원 위에 존재한다. 또한 네점 $\rm P, C, D, E$가 한 원 위에 존재한다. 따라서 $\angle \rm BPC = \angle BPD+ \angle DPC = \angle BFD + \angle AED = 180^{\circ} -\angle A$ 이다. 즉, $\angle \rm A + \angle BPC = 180^{\circ}$ 이다.

 

따라서 $\rm A, B, P, C$ 네 점 역시 한 원 위에 존재한다. 그러므로 점 $\rm P$는 삼각형 $\rm ABC$의 외접원 위에 존재한다.