행렬 활용 문제 예제 3가지

행렬은 수학적 계산뿐만 아니라 컴퓨터 그래픽스, 물리학, 데이터 분석 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 이번 글에서는 행렬을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 두 행렬의 덧셈

문제: 다음 두 행렬 $A$와 $B$의 합 $C$를 구하세요:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}.$$

풀이:

1. 두 행렬의 같은 위치에 있는 원소를 더합니다:

$$C = A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix}.$$

2. 계산하면:

$$C = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}.$$

따라서 두 행렬의 합은 $C = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$입니다.

예제 2: 행렬의 곱셈

문제: 다음 두 행렬 $A$와 $B$를 곱한 행렬 $C$를 구하세요:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}.$$

풀이:

1. 행렬의 곱셈은 $C_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}$를 사용하여 계산합니다.

2. 각 원소를 계산합니다:

$$C_{11} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 2 + 2 = 4, \quad C_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 3 = 0 + 6 = 6.$$ $$C_{21} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 6 + 4 = 10, \quad C_{22} = 3 \cdot 0 + 4 \cdot 3 = 0 + 12 = 12.$$

3. 행렬 $C$는:

$$C = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}.$$

따라서 행렬의 곱은 $C = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$입니다.

예제 3: 연립방정식의 해 구하기

문제: 다음 연립방정식을 행렬을 이용하여 풀어보세요:

$$2x + y = 5, \quad 3x + 4y = 6.$$

풀이:

1. 행렬로 표현하면:

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}.$$

이를 $AX = B$ 형태로 나타냅니다. 여기서:

• $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
• $X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$
• $B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$

2. $A^{-1}$를 구합니다:

행렬 $A$의 역행렬은:

$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$

여기서 $\text{det}(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5$이므로:

$$A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}.$$

3. $X = A^{-1}B$를 계산합니다:

$$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}.$$

행렬 곱셈을 계산하면:

$$\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(5) + (-1)(6) \\ -3(5) + 2(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 - 6 \\ -15 + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 \\ -3 \end{pmatrix}.$$

따라서:

$$X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 14 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{14}{5} \\ -\frac{3}{5} \end{pmatrix}.$$

연립방정식의 해는 $x = \frac{14}{5}$, $y = -\frac{3}{5}$입니다.

결론

행렬은 덧셈, 곱셈뿐만 아니라 연립방정식의 해를 구하는 데도 유용하게 사용됩니다. 위의 예제를 통해 행렬 계산의 기본 원리를 이해하고 실질적으로 활용하는 방법을 배울 수 있습니다.

수학의 실생활 적용 분야 알아보기 | 공학 건축 컴퓨터 금융