역행렬 활용 문제 예제 3가지

역행렬은 선형대수에서 중요한 개념으로, 행렬 방정식의 해를 구하거나 좌표 변환 등을 다룰 때 사용됩니다. 이번 글에서는 역행렬을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 행렬 방정식의 해 구하기

문제: 행렬 방정식 $AX = B$에서 $A$와 $B$가 다음과 같이 주어질 때, $X$를 구하세요.

$$ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}. $$

풀이:

1. $A$의 역행렬 $A^{-1}$을 구합니다:

행렬 $A$의 행렬식(det)은:

$$ \text{det}(A) = (2)(3) - (1)(1) = 6 - 1 = 5. $$

역행렬 $A^{-1}$은:

$$ A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. $$

2. $X = A^{-1}B$를 계산합니다:

$$ X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}. $$

행렬 곱셈을 수행하면:

$$ \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(5) + (-1)(7) \\ -1(5) + 2(7) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 - 7 \\ -5 + 14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \end{pmatrix}. $$

따라서:

$$ X = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 8 \\ 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{8}{5} \\ \frac{9}{5} \end{pmatrix}. $$

행렬 방정식의 해는 $X = \begin{pmatrix} \frac{8}{5} \\ \frac{9}{5} \end{pmatrix}$입니다.

예제 2: 좌표 변환

문제: 2차원 좌표에서 행렬 변환 $T$가 다음과 같이 주어졌습니다:

$$ T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. $$

변환 후의 좌표가 $\begin{pmatrix} 11 \\ 25 \end{pmatrix}$일 때, 변환 전의 좌표를 구하세요.

풀이:

1. 변환 전의 좌표를 $X$라고 하면, $TX = \begin{pmatrix} 11 \\ 25 \end{pmatrix}$입니다.

2. $T$의 역행렬 $T^{-1}$을 구합니다:

행렬식 $\text{det}(T)$은:

$$ \text{det}(T) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2. $$

역행렬 $T^{-1}$은:

$$ T^{-1} = \frac{1}{\text{det}(T)} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}. $$

3. 변환 전의 좌표 $X$는:

$$ X = T^{-1} \begin{pmatrix} 11 \\ 25 \end{pmatrix}. $$

행렬 곱셈을 계산하면:

$$ X = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 11 \\ 25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2(11) + 1(25) \\ \frac{3}{2}(11) - \frac{1}{2}(25) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -22 + 25 \\ \frac{33}{2} - \frac{25}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}. $$

따라서 변환 전의 좌표는 $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$입니다.

예제 3: 연립방정식 해석

문제: 다음 연립방정식을 행렬을 이용해 풀어보세요:

$$ x + 2y + z = 6, \quad 2x + 3y + z = 11, \quad 3x + y + 2z = 13. $$

풀이:

1. 행렬 형태로 나타냅니다:

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 11 \\ 13 \end{pmatrix}. $$

2. 행렬 $A$의 역행렬을 구합니다:

행렬 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$의 역행렬 $A^{-1}$은 계산 도구를 사용하여 구할 수 있습니다. 이를 생략하면:

$$ A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -1 \\ \frac{5}{2} & -3 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. $$

3. $X = A^{-1}B$를 계산하여 $x$, $y$, $z$를 구합니다. 계산 결과는:

$$ x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3. $$

따라서 연립방정식의 해는 $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$입니다.

결론

역행렬은 행렬 방정식, 좌표 변환, 연립방정식 해석 등 다양한 문제를 해결하는 데 활용됩니다. 위의 예제를 통해 역행렬을 실제로 활용하는 방법을 익힐 수 있습니다.

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