다항함수의 미분 활용 문제 예제 3가지

다항함수의 미분은 함수의 변화율, 접선의 기울기, 최적화 문제를 해결하는 데 중요한 도구입니다. 이번 글에서는 다항함수의 미분을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 접선의 기울기 구하기

문제: 함수 $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$에서 $x = 1$일 때 접선의 기울기를 구하세요.

풀이:

1. 함수의 미분을 계산합니다:

$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x + 5) = 6x - 2. $$

2. $x = 1$에서의 접선의 기울기를 구합니다:

$$ f'(1) = 6(1) - 2 = 4. $$

따라서 $x = 1$에서 접선의 기울기는 $4$입니다.

예제 2: 극대값과 극소값 구하기

문제: 함수 $g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$의 극대값과 극소값을 구하세요.

풀이:

1. 극대값과 극소값을 찾기 위해 $g'(x) = 0$을 풉니다. 먼저 $g'(x)$를 구합니다:

$$ g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x. $$

2. $g'(x) = 0$을 풉니다:

$$ 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0. $$

따라서 $x = 0$ 또는 $x = 2$입니다.

3. $g''(x)$를 사용해 각각의 성격을 확인합니다:

$$ g''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6. $$

- $g''(0) = 6(0) - 6 = -6$ (음수이므로 $x = 0$에서 극대값)
- $g''(2) = 6(2) - 6 = 6$ (양수이므로 $x = 2$에서 극소값)

4. 극대값과 극소값을 구합니다:

$$ g(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 4 = 4, \quad g(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0. $$

따라서 극대값은 $4$, 극소값은 $0$입니다.

예제 3: 최적화 문제

문제: 직사각형의 둘레가 $20$인 경우, 넓이가 최대가 되도록 하는 가로($x$)와 세로($y$)의 값을 구하세요.

풀이:

1. 조건식과 목표식을 세웁니다:

• 둘레 조건: $2x + 2y = 20 \implies y = 10 - x$
• 넓이: $A = x \cdot y = x(10 - x) = 10x - x^2$

2. 넓이를 최대화하기 위해 $A'(x) = 0$을 풉니다. 먼저 $A'(x)$를 구합니다:

$$ A'(x) = \frac{d}{dx}(10x - x^2) = 10 - 2x. $$

3. $A'(x) = 0$을 풀면:

$$ 10 - 2x = 0 \implies x = 5. $$

4. $x = 5$일 때 $y$를 계산합니다:

$$ y = 10 - x = 10 - 5 = 5. $$

따라서 직사각형의 가로와 세로는 각각 $5$이며, 이때 넓이는 최대가 됩니다.

결론

다항함수의 미분은 접선의 기울기, 극값 찾기, 최적화 문제 등 다양한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 다항함수의 미분을 활용하여 실질적인 문제를 해결하는 방법을 이해할 수 있습니다.

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