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수학

다항함수의 미분 활용 문제 예제 3가지

by 여행과 수학 2024. 12. 20.
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다항함수의 미분은 함수의 변화율, 접선의 기울기, 최적화 문제를 해결하는 데 중요한 도구입니다. 이번 글에서는 다항함수의 미분을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

다항함수의 미분 활용 문제

예제 1: 접선의 기울기 구하기

문제: 함수 f(x)=3x22x+5에서 x=1일 때 접선의 기울기를 구하세요.

풀이:

1. 함수의 미분을 계산합니다:

f(x)=ddx(3x22x+5)=6x2.

2. x=1에서의 접선의 기울기를 구합니다:

f(1)=6(1)2=4.

따라서 x=1에서 접선의 기울기는 4입니다.

예제 2: 극대값과 극소값 구하기

문제: 함수 g(x)=x33x2+4의 극대값과 극소값을 구하세요.

풀이:

1. 극대값과 극소값을 찾기 위해 g(x)=0을 풉니다. 먼저 g(x)를 구합니다:

g(x)=ddx(x33x2+4)=3x26x.

2. g(x)=0을 풉니다:

3x26x=03x(x2)=0.

따라서 x=0 또는 x=2입니다.

3. g를 사용해 각각의 성격을 확인합니다:

g''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6.

- g''(0) = 6(0) - 6 = -6 (음수이므로 x = 0에서 극대값)
- g''(2) = 6(2) - 6 = 6 (양수이므로 x = 2에서 극소값)

4. 극대값과 극소값을 구합니다:

g(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 4 = 4, \quad g(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0.

따라서 극대값은 4, 극소값은 0입니다.

예제 3: 최적화 문제

문제: 직사각형의 둘레가 20인 경우, 넓이가 최대가 되도록 하는 가로(x)와 세로(y)의 값을 구하세요.

풀이:

1. 조건식과 목표식을 세웁니다:

  • 둘레 조건: 2x + 2y = 20 \implies y = 10 - x
  • 넓이: A = x \cdot y = x(10 - x) = 10x - x^2

2. 넓이를 최대화하기 위해 A'(x) = 0을 풉니다. 먼저 A'(x)를 구합니다:

A'(x) = \frac{d}{dx}(10x - x^2) = 10 - 2x.

3. A'(x) = 0을 풀면:

10 - 2x = 0 \implies x = 5.

4. x = 5일 때 y를 계산합니다:

y = 10 - x = 10 - 5 = 5.

따라서 직사각형의 가로와 세로는 각각 5이며, 이때 넓이는 최대가 됩니다.

결론

다항함수의 미분은 접선의 기울기, 극값 찾기, 최적화 문제 등 다양한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 다항함수의 미분을 활용하여 실질적인 문제를 해결하는 방법을 이해할 수 있습니다.

 

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