다항함수의 미분은 함수의 변화율, 접선의 기울기, 최적화 문제를 해결하는 데 중요한 도구입니다. 이번 글에서는 다항함수의 미분을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 접선의 기울기 구하기
문제: 함수 f(x)=3x2−2x+5에서 x=1일 때 접선의 기울기를 구하세요.
풀이:
1. 함수의 미분을 계산합니다:
f′(x)=ddx(3x2−2x+5)=6x−2.
2. x=1에서의 접선의 기울기를 구합니다:
f′(1)=6(1)−2=4.
따라서 x=1에서 접선의 기울기는 4입니다.
예제 2: 극대값과 극소값 구하기
문제: 함수 g(x)=x3−3x2+4의 극대값과 극소값을 구하세요.
풀이:
1. 극대값과 극소값을 찾기 위해 g′(x)=0을 풉니다. 먼저 g′(x)를 구합니다:
g′(x)=ddx(x3−3x2+4)=3x2−6x.
2. g′(x)=0을 풉니다:
3x2−6x=0⟹3x(x−2)=0.
따라서 x=0 또는 x=2입니다.
3. g″를 사용해 각각의 성격을 확인합니다:
g''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6.
- g''(0) = 6(0) - 6 = -6 (음수이므로 x = 0에서 극대값)
- g''(2) = 6(2) - 6 = 6 (양수이므로 x = 2에서 극소값)
4. 극대값과 극소값을 구합니다:
g(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 4 = 4, \quad g(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0.
따라서 극대값은 4, 극소값은 0입니다.
예제 3: 최적화 문제
문제: 직사각형의 둘레가 20인 경우, 넓이가 최대가 되도록 하는 가로(x)와 세로(y)의 값을 구하세요.
풀이:
1. 조건식과 목표식을 세웁니다:
- 둘레 조건: 2x + 2y = 20 \implies y = 10 - x
- 넓이: A = x \cdot y = x(10 - x) = 10x - x^2
2. 넓이를 최대화하기 위해 A'(x) = 0을 풉니다. 먼저 A'(x)를 구합니다:
A'(x) = \frac{d}{dx}(10x - x^2) = 10 - 2x.
3. A'(x) = 0을 풀면:
10 - 2x = 0 \implies x = 5.
4. x = 5일 때 y를 계산합니다:
y = 10 - x = 10 - 5 = 5.
따라서 직사각형의 가로와 세로는 각각 5이며, 이때 넓이는 최대가 됩니다.
결론
다항함수의 미분은 접선의 기울기, 극값 찾기, 최적화 문제 등 다양한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 다항함수의 미분을 활용하여 실질적인 문제를 해결하는 방법을 이해할 수 있습니다.
수학의 실생활 적용 분야 알아보기 | 공학 건축 컴퓨터 금융
수학은 교실에서 가르치는 과목 그 이상입니다. 일상 생활의 모든 측면에 스며드는 근본적인 도구입니다. 간단한 계산에서 복잡한 모델링에 이르기까지 수학은 실제 문제를 해결하고 과학, 기
mathtravel.tistory.com
'수학' 카테고리의 다른 글
거듭제곱 지수법칙 활용 문제 예제 3가지 (0) | 2024.12.20 |
---|---|
다항함수의 적분 활용 문제 예제 3가지 (0) | 2024.12.20 |
수열의 극한 활용 문제 예제 3가지 (0) | 2024.12.20 |
함수의 극한 활용 문제 예제 3가지 (0) | 2024.12.20 |
무리함수 활용 문제 예제 3가지 (0) | 2024.12.20 |
댓글