경우의 수 활용 문제 예제 3가지

경우의 수는 주어진 조건에 따라 가능한 선택이나 배치의 수를 계산하는 데 사용됩니다. 이는 조합론의 기본 개념으로, 현실적인 문제 해결과 의사 결정에서 매우 유용합니다. 이번 글에서는 경우의 수를 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 의상 조합

문제: 상의 3벌(파란색, 빨간색, 초록색)과 하의 2벌(청바지, 면바지)이 있습니다. 상의와 하의를 각각 1벌씩 선택하는 조합의 수는 몇 가지입니까?

풀이:

1. 상의 선택 가능성: 3가지 (파란색, 빨간색, 초록색).

2. 하의 선택 가능성: 2가지 (청바지, 면바지).

3. 상의와 하의를 조합할 때 가능한 모든 경우의 수는:

$$ 3 \times 2 = 6. $$

따라서 가능한 조합의 수는 6가지입니다.

예제 2: 숫자 배열

문제: 숫자 1, 2, 3을 사용하여 3자리 숫자를 만들려고 합니다. 숫자는 중복 없이 사용할 때, 가능한 숫자의 개수는 몇 가지입니까?

풀이:

1. 첫 번째 자리 선택: 3가지 가능성 (1, 2, 3).

2. 두 번째 자리 선택: 첫 번째 자리를 선택한 후 남은 2가지 가능성.

3. 세 번째 자리 선택: 첫 번째와 두 번째를 선택한 후 남은 1가지 가능성.

4. 가능한 모든 경우의 수는:

$$ 3 \times 2 \times 1 = 6. $$

따라서 가능한 숫자의 개수는 6가지입니다.

예제 3: 조합 계산

문제: 6명의 학생 중에서 2명을 선택하여 조를 만들려고 합니다. 가능한 조합의 수는 몇 가지입니까?

풀이:

1. 조합의 수는 다음 공식으로 계산됩니다:

$$ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}. $$

여기서 $n = 6$, $r = 2$이므로:

$$ \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{2 \cdot 1 \cdot 4!}. $$

$4!$는 약분되고 남은 계산은:

$$ \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15. $$

따라서 가능한 조합의 수는 15가지입니다.

결론

경우의 수는 선택과 배치를 다루는 기본 도구로, 곱의 법칙, 순열, 조합을 활용하여 다양한 문제를 해결할 수 있습니다. 위의 예제를 통해 경우의 수를 계산하는 방법을 명확히 이해할 수 있습니다.

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