다항함수의 적분 활용 문제 예제 3가지

다항함수의 적분은 면적 계산, 평균값 구하기, 그리고 물리적 문제를 해결하는 데 중요한 도구입니다. 이번 글에서는 다항함수의 적분을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 정적분을 이용한 면적 계산

문제: 함수 $f(x) = x^2$이 $x = 0$에서 $x = 2$까지 정의된 영역의 면적을 구하세요.

풀이:

1. 면적은 다음과 같은 정적분으로 표현됩니다:

$$ A = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} x^2 \, dx. $$

2. $x^2$의 부정적분을 계산합니다:

$$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C. $$

3. 정적분을 계산합니다:

$$ A = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}. $$

따라서 $x = 0$에서 $x = 2$까지의 영역의 면적은 $\frac{8}{3}$입니다.

예제 2: 평균값 계산

문제: 함수 $g(x) = 3x^2 + 2x$의 $x = 1$에서 $x = 4$까지의 평균값을 구하세요.

풀이:

1. 평균값은 다음 공식으로 계산됩니다:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{b-a} \int_a^b g(x) \, dx. $$

여기서 $a = 1$, $b = 4$입니다. 따라서:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{4-1} \int_1^4 (3x^2 + 2x) \, dx. $$

2. 부정적분을 계산합니다:

$$ \int (3x^2 + 2x) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx = x^3 + x^2 + C. $$

3. 정적분을 계산합니다:

$$ \int_1^4 (3x^2 + 2x) \, dx = \left[x^3 + x^2\right]_1^4 = (4^3 + 4^2) - (1^3 + 1^2) = (64 + 16) - (1 + 1) = 78. $$

4. 평균값을 계산합니다:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{3} \cdot 78 = 26. $$

따라서 평균값은 $26$입니다.

예제 3: 물리적 문제 - 거리 계산

문제: 물체가 $t$초 후의 속도가 $v(t) = 4t^2$ (단위: m/s)로 주어질 때, $t = 0$에서 $t = 3$까지 이동한 거리를 구하세요.

풀이:

1. 이동 거리는 속도를 적분하여 계산합니다:

$$ s = \int_0^3 v(t) \, dt = \int_0^3 4t^2 \, dt. $$

2. $4t^2$의 부정적분을 계산합니다:

$$ \int 4t^2 \, dt = \frac{4t^3}{3} + C. $$

3. 정적분을 계산합니다:

$$ s = \left[\frac{4t^3}{3}\right]_0^3 = \frac{4(3)^3}{3} - \frac{4(0)^3}{3} = \frac{4 \cdot 27}{3} = 36 \, \text{m}. $$

따라서 $t = 0$에서 $t = 3$까지 이동한 거리는 $36 \, \text{m}$입니다.

결론

다항함수의 적분은 면적 계산, 평균값 구하기, 이동 거리 계산 등 다양한 문제를 해결하는 데 활용됩니다. 위의 예제를 통해 다항함수의 적분을 활용하여 실질적인 문제를 해결하는 방법을 이해할 수 있습니다.

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