함수의 극한 활용 문제 예제 3가지

함수의 극한은 변화율, 연속성, 그리고 미적분의 기초를 이해하는 데 중요한 개념입니다. 극한은 다양한 상황에서 복잡한 문제를 단순화하고 근삿값을 구하는 데 활용됩니다. 이번 글에서는 함수의 극한을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 이동 중 평균 속도와 순간 속도

문제: 어떤 물체가 $s(t) = t^2 + 3t$ (단위: m)로 이동한다고 합니다. 2초에서 순간 속도를 구하세요.

풀이:

순간 속도는 시간 $t = 2$에서의 변화율(미분계수)을 극한을 이용해 구합니다:

$$ v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(2 + \Delta t) - s(2)}{\Delta t}. $$

1. $s(2 + \Delta t)$와 $s(2)$를 계산합니다:

$$ s(2 + \Delta t) = (2 + \Delta t)^2 + 3(2 + \Delta t) = 4 + 4\Delta t + (\Delta t)^2 + 6 + 3\Delta t, $$

$$ s(2) = 4 + 6 = 10. $$

2. 변화율을 계산합니다:

$$ v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{(4 + 4\Delta t + (\Delta t)^2 + 6 + 3\Delta t) - 10}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{4\Delta t + (\Delta t)^2 + 3\Delta t}{\Delta t}. $$

3. 분자에서 $\Delta t$를 묶습니다:

$$ v = \lim_{\Delta t \to 0} (4 + \Delta t + 3) = 4 + 3 = 7. $$

따라서 $t = 2$에서의 순간 속도는 $7 \, \text{m/s}$입니다.

예제 2: 함수의 연속성 확인

문제: 함수 $f(x)$가 다음과 같이 정의됩니다:

$$ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{if } x < 1, \\ 3x + 1, & \text{if } x \geq 1. \end{cases} $$

$x = 1$에서 $f(x)$가 연속인지 확인하세요.

풀이:

함수가 $x = 1$에서 연속하려면 다음 조건을 만족해야 합니다:

• $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$

1. $x \to 1^-$에서의 극한:

$$ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 2x) = 1^2 + 2(1) = 3. $$

2. $x \to 1^+$에서의 극한:

$$ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (3x + 1) = 3(1) + 1 = 4. $$

3. $f(1)$의 값:

$$ f(1) = 3(1) + 1 = 4. $$

$\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$이므로 $f(x)$는 $x = 1$에서 연속하지 않습니다.

예제 3: 무리함수의 극한

문제: 함수 $f(x) = \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$의 $x \to 0$에서의 극한을 구하세요.

풀이:

1. $x = 0$을 대입하면 분모와 분자가 모두 0이 되어 부정형이 됩니다. 이를 유리화하여 극한을 계산합니다:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 4} + 2}{\sqrt{x + 4} + 2}. $$

2. 분자를 전개하면:

$$ \frac{(\sqrt{x + 4} - 2)(\sqrt{x + 4} + 2)}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{(x + 4) - 4}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)}. $$

3. $x$를 약분하면:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}. $$

4. $x \to 0$에서 계산하면:

$$ \frac{1}{\sqrt{0 + 4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}. $$

따라서 $x \to 0$에서의 극한은 $\frac{1}{4}$입니다.

결론

함수의 극한은 변화율 계산, 연속성 판단, 복잡한 함수의 극한 계산 등 다양한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 극한 개념을 실질적으로 활용하는 방법을 이해할 수 있습니다.

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