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수학

수열의 극한 활용 문제 예제 3가지

by 여행과 수학 2024. 12. 20.
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수열의 극한은 수열이 무한히 진행될 때 그 값이 특정 값에 가까워지는 성질을 다룹니다. 이는 수학적 분석, 금융 계산, 물리적 모델링 등 여러 분야에서 중요한 개념입니다. 이번 글에서는 수열의 극한을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

수열의 극한 활용

예제 1: 등비수열의 극한

문제: 등비수열 an=2(13)n의 극한을 구하세요.

풀이:

1. 등비수열의 일반항은 an=2(13)n입니다.

2. n일 때 (13)n0에 가까워지므로:

lim

따라서 수열의 극한은 0입니다.

예제 2: 조화수열의 극한

문제: 조화수열 a_n = \frac{1}{n}의 극한을 구하세요.

풀이:

1. a_n = \frac{1}{n}일 때, n이 무한히 커질수록 1/n0에 가까워집니다.

2. 따라서:

\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.

조화수열의 극한은 0입니다.

예제 3: 복잡한 수열의 극한

문제: 수열 a_n = \frac{2n^2 + 3n}{n^2 + 5}의 극한을 구하세요.

풀이:

1. 분자와 분모의 최고차항으로 나누어 극한을 구합니다:

a_n = \frac{2n^2 + 3n}{n^2 + 5} = \frac{n^2(2 + \frac{3}{n})}{n^2(1 + \frac{5}{n^2})}.

2. n \to \infty일 때 \frac{3}{n} \to 0이고, \frac{5}{n^2} \to 0이므로:

\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2.

따라서 수열의 극한은 2입니다.

결론

수열의 극한은 등비수열, 조화수열, 복잡한 다항식 형태의 수열 등 다양한 형태로 나타나며, 각각의 극한을 구하는 방법은 다릅니다. 위의 예제를 통해 수열의 극한을 계산하는 기본적인 접근 방식을 이해할 수 있습니다.

 

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