수열의 극한 활용 문제 예제 3가지

수열의 극한은 수열이 무한히 진행될 때 그 값이 특정 값에 가까워지는 성질을 다룹니다. 이는 수학적 분석, 금융 계산, 물리적 모델링 등 여러 분야에서 중요한 개념입니다. 이번 글에서는 수열의 극한을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 등비수열의 극한

문제: 등비수열 $a_n = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$의 극한을 구하세요.

풀이:

1. 등비수열의 일반항은 $a_n = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^n$입니다.

2. $n \to \infty$일 때 $\left(\frac{1}{3}\right)^n$은 $0$에 가까워지므로:

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{3}\right)^n = 2 \cdot 0 = 0. $$

따라서 수열의 극한은 $0$입니다.

예제 2: 조화수열의 극한

문제: 조화수열 $a_n = \frac{1}{n}$의 극한을 구하세요.

풀이:

1. $a_n = \frac{1}{n}$일 때, $n$이 무한히 커질수록 $1/n$은 $0$에 가까워집니다.

2. 따라서:

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0. $$

조화수열의 극한은 $0$입니다.

예제 3: 복잡한 수열의 극한

문제: 수열 $a_n = \frac{2n^2 + 3n}{n^2 + 5}$의 극한을 구하세요.

풀이:

1. 분자와 분모의 최고차항으로 나누어 극한을 구합니다:

$$ a_n = \frac{2n^2 + 3n}{n^2 + 5} = \frac{n^2(2 + \frac{3}{n})}{n^2(1 + \frac{5}{n^2})}. $$

2. $n \to \infty$일 때 $\frac{3}{n} \to 0$이고, $\frac{5}{n^2} \to 0$이므로:

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2. $$

따라서 수열의 극한은 $2$입니다.

결론

수열의 극한은 등비수열, 조화수열, 복잡한 다항식 형태의 수열 등 다양한 형태로 나타나며, 각각의 극한을 구하는 방법은 다릅니다. 위의 예제를 통해 수열의 극한을 계산하는 기본적인 접근 방식을 이해할 수 있습니다.

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