유리함수 활용 문제 예제 3가지

유리함수는 분수 형태로 표현되는 함수로, 수학적으로 복잡한 관계를 다룰 때 유용합니다. 특히, 비율이나 역관계를 나타낼 때 자주 사용됩니다. 이번 글에서는 유리함수를 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 속도와 시간의 관계

문제: 한 사람이 일정한 거리 120km를 이동합니다. 이동 속도가 $v$km/h일 때 걸리는 시간 $t$는 다음과 같습니다:

$$t = \frac{120}{v}.$$

속도가 60km/h일 때 걸리는 시간을 계산하세요.

풀이:

속도가 $v = 60$km/h일 때:

$$t = \frac{120}{60}.$$

계산하면:

$$t = 2 \, \text{(시간)}.$$

따라서 속도가 60km/h일 때 걸리는 시간은 2시간입니다.

예제 2: 저항의 병렬 연결

문제: 두 저항 $R_1$과 $R_2$가 병렬로 연결되었을 때, 등가 저항 $R$은 다음 식으로 구할 수 있습니다:

$$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}.$$

$R_1 = 4\Omega$, $R_2 = 6\Omega$일 때 등가 저항 $R$을 구하세요.

풀이:

등가 저항의 역수는:

$$\frac{1}{R} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6}.$$

공통 분모를 이용하여 계산하면:

$$\frac{1}{R} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}.$$

따라서 등가 저항 $R$은:

$$R = \frac{12}{5} = 2.4 \, \Omega.$$

따라서 등가 저항은 $2.4\Omega$입니다.

예제 3: 생산성과 작업 시간

문제: 한 공장에서 $x$명이 함께 작업할 때, 작업 완료 시간 $t$는 다음과 같이 모델링됩니다:

$$t = \frac{k}{x},$$

여기서 $k$는 작업량을 나타내며, $k = 100$입니다. 작업자가 5명일 때 작업 완료 시간을 구하고, 작업자가 10명일 때 시간은 몇 배로 줄어드는지 계산하세요.

풀이:

1. 작업자가 5명일 때:

$$t = \frac{100}{5} = 20 \, \text{(시간)}.$$

2. 작업자가 10명일 때:

$$t = \frac{100}{10} = 10 \, \text{(시간)}.$$

3. 작업 시간이 줄어든 비율은:

$$\frac{t_{10}}{t_{5}} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}.$$

따라서 작업자가 10명이 되면 작업 시간은 5명이었을 때의 절반으로 줄어듭니다.

결론

유리함수는 속도와 시간, 저항 계산, 작업 시간 모델링 등 다양한 문제를 해결하는 데 활용됩니다. 비율과 역관계를 다룰 때 유리함수를 사용하면 실질적인 문제를 수학적으로 분석하고 해결할 수 있습니다.

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