로그함수 활용 문제 예제 3가지

로그함수는 수치의 크기를 압축하거나 비례 관계를 표현하는 데 유용하며, 금융, 정보 이론, 물리학 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 이번 글에서는 로그함수를 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 지진의 규모 계산

문제: 리히터 규모는 다음과 같이 정의됩니다:

$$ M = \log\left(\frac{I}{I_0}\right), $$

여기서 $I$는 측정된 지진파의 진폭, $I_0$는 기준 진폭입니다. 측정된 진폭 $I$가 기준 진폭 $I_0$의 1,000배일 때, 리히터 규모를 구하세요.

풀이:

진폭 비율은 $I/I_0 = 1,000$입니다. 리히터 규모는:

$$ M = \log(1,000). $$

$1,000$은 $10^3$으로 표현되므로:

$$ M = \log(10^3) = 3. $$

따라서 리히터 규모는 3입니다.

예제 2: 소리의 데시벨 계산

문제: 소리의 크기는 데시벨(dB)로 측정되며, 다음과 같이 계산됩니다:

$$ L = 10 \cdot \log\left(\frac{I}{I_0}\right), $$

여기서 $I$는 소리의 강도, $I_0$는 기준 강도입니다. 소리의 강도가 기준 강도의 100배일 때 데시벨을 구하세요.

풀이:

강도 비율은 $I/I_0 = 100$입니다. 데시벨은:

$$ L = 10 \cdot \log(100). $$

$100$은 $10^2$으로 표현되므로:

$$ L = 10 \cdot \log(10^2) = 10 \cdot 2 = 20 \, \text{dB}. $$

따라서 소리의 크기는 20dB입니다.

예제 3: 컴퓨터 메모리 용량 계산

문제: 데이터 전송 속도가 $b$bps일 때, 데이터를 $N$비트 전송하는 데 걸리는 시간은 다음과 같습니다:

$$ T = \frac{N}{b}. $$

만약 전송 속도를 두 배로 늘리면 걸리는 시간은 몇 배로 줄어드는지 로그를 사용해 구하세요.

풀이:

원래 걸리는 시간 $T_1$은 $T_1 = \frac{N}{b}$입니다. 속도를 두 배로 늘린 경우의 시간 $T_2$는:

$$ T_2 = \frac{N}{2b}. $$

시간의 비율은:

$$ \frac{T_2}{T_1} = \frac{\frac{N}{2b}}{\frac{N}{b}} = \frac{1}{2}. $$

따라서 걸리는 시간은 원래의 절반으로 줄어듭니다. 이를 로그로 나타내면:

$$ \log\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = \log\left(\frac{1}{2}\right) = -\log(2). $$

따라서 로그를 이용하면 속도가 두 배로 늘어날 때 시간은 $-\log(2)$배, 즉 절반으로 줄어듦을 확인할 수 있습니다.

결론

로그함수는 리히터 규모, 데시벨 계산, 데이터 전송 시간 분석 등 실생활과 다양한 과학적 계산에서 핵심 역할을 합니다. 이를 통해 복잡한 비율과 변화 과정을 간단히 이해하고 계산할 수 있습니다.

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