집합, 명제의 개념 정리

집합의 포함관계

1. 두 집합 A, B에 대해 A의 모든 원소가 집합 B에 속한다면, 집합 A는 집합 B의 부분집합이라 한다.

기호로 $A \subset B$ 또는 $B \subset A$ 로 표현한다.

2. 공집합은 모든 집합의 부분집합이고, 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이다. 기호로 $\emptyset \subset A$, $A \subset A$

3. 두 집합 A, B에 대해 $A \subset B$, $B \subset A$ 일 때, $A=B$ 이다.

4. $A \subset B$ 이고 $A \neq B$ 이면 집합 A는 집합 B의 진부분집합이다.

 

집합의 연산법칙

1. 교환법칙 : $A \cup B = B \cup A$, $A \cap B = B \cap A$

2. 결합법칙 : $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$, $A \cap(B \cap C) = (A \cap B) \cap C$

3. 분배법칙 : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$, $A \cup (B \cap C) = (A\cup B) \cap (A \cup C)$

 

드 모르간의 법칙

$(A \cup B) ^c = A^c \cap B^c$, $(A \cap B )^c = A^c \cup B^c$

 

명제와 부정

1. 명제 : 참, 거짓을 판단한 수 있는 문장, 어떤 명제 $p$에서 '$p$가 아니다' 는 명제의 부정이며 기호는 $\sim p$ 이다.

2. $p$ 이면 $q$이다 라는 명제는 기호로 $p \rightarrow q$ 라 표현한다.

3. 조건 $p$, $q$를 참으로 하는 값들의 집합을 각각 $P$, $Q$라 하면 명제 $p \rightarrow q$ 가 참이라면 $P \subset Q$ 라 표현한다. 역으로 $P \subset Q$라면 명제 $p \rightarrow Q$ 는 참이다.

 

명제의 역, 이 대우

1. 명제 $p \rightarrow q$에 대해

$q \rightarrow p$	$p \rightarrow q$의 역
$\sim p \rightarrow \sim q$	$p \rightarrow q$의 이
$\sim q \rightarrow \sim q$	$p \rightarrow q$의 대우

2. 명제 $p \rightarrow q$가 참이면 대우명제 $\sim q \rightarrow \sim q$는 참이다.

 

필요조건, 충분조건

1. $p \Rightarrow q$ : $p$는 $q$이기 위한 충분조건 ($P \subset Q$)

2. $p \Leftarrow q$ : $p$는 $q$이기 위한 필요조건 ($P \supset Q$)

3. $p \Leftrightarrow q$ : $p$는 $q$이기 위한 필요충분조건 ($P = Q$)