메넬라우스 역정리 알아보기

메넬라우스 역정리

메넬라오스 역정리

삼각형 $ABC$의 세 변 $AB, BC, CA$ 위에 $\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BY}{YC} \cdot \frac{CZ}{ZA} = 1$ 이 되도록, 각각 $X, Y, Z$를 잡으면, 점 $X, Y, Z$는 한 직선 위에 있다.

 

증명하기

메넬라오스 역정리 증명

만약 $X, Y, Z$가 한 직선 위에 있지 않다고 가정하자.

$ZY$를 연장하여 선분 $AB$와 만나는 점을 $X'$라 하자. 이 때, $\frac{AX'}{X'B} \cdot \frac{BY}{YC} \cdot \frac{CZ}{ZA} = 1$ 이다. 주어진 조건에서 $\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BY}{YC} \cdot \frac{CZ}{ZA} = 1$ 이므로 $\frac{AX'}{X'B} = \frac{AX}{XB}$ 이다. $X, X'$가 선분 $AB$ 를 내분하여 얻은 두 선분의 길이가 같으므로 점 $X$와 $X'$는 일치한다. 그러므로 $X, Y, Z$는 한 직선 위에 존재한다.

 

<참고사항>

1. 정리의 조건에서 자르는 직선이 삼각형의 꼭짓점을 지나지 않아야 한다. 만약 지나간다면 분모가 0일 수 있기 때문이다. 이때는 정리의 결론을 $AX \cdot BY \cdot CZ = XB \cdot YC \cdot ZA$로 식을 변형하면, 식이 성립한다.

 

2. 자르는 선이 어떤 한 변과 평행하다고 하자. 예를 들어 선분 $BC$에 평행하면, 점 $Y$는 무한히 멀어 찍을 수 없는 점이 된다. 이때는 $\frac{BY}{YC} = 1$이라 하자. 그러면 $\frac{AX}{XB} = \frac{AZ}{ZC}$ 이므로 $\frac{AX}{XB} \cdot \frac{BY}{YC} \cdot \frac{CZ}{ZA}=1$ 이 성립한다.

 

3. 삼각형 $ABC$의 꼭짓점을 그림과 같이 둔다. 이때, 점 $X, Y, Z$를 그 사이에 그림과 같이 놓는다.(변위의 점이 대응하는 두 꼭짓점 사이)

이때 한 문자로 시작해서 회전하면서 차례대로 분자, 분모에 식을 적으면 메넬라우스 정리를 쉽게 찾아낼 수 있다.

$A$부터 시작하면, $\frac{AZ}{ZB } \cdot \frac{BX}{XC} \cdot \frac{CY}{YC}$ 로 알기쉽게 외울 수 있다.

 

4. 선분의 방향에 의해 양수, 음수의 길이를 나타낸다면,

$\frac{BF}{FC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AD}{DB} =-1$을 만족한다.