n차 원시근 알아보기

n차원시근이란?

단위복소수 $a$ 에서 집합 $<a>$를 $<a>=\{a^k |  k \in Z \}$ ($Z$는 정수) 라 정의할 때, $<a>$의 서로 다른 원소의 개수가 $n$이라면 $a$를  n차원시근이라 한다.

 

예를 들면 $<-1> = \{ -1, 1 \}$, $<i> = <-i> = \{ i,-1,-i,1 \}$이므로 $-1$은 2차 원시근이고 $i, -i$는 4차 원시근이다. 자연수 $n$에 대하여 $a^n=1$을 만족하면, 집합 $<a>$의 원소는 $n$개 이하이다.

 

n차 원시근 동치조건

단위복소수 $a$에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

(1) $a$는 n차 원시근이다.

(2) $a^n=1$ 이고 $n$보다 작은 자연수 $m$에 대해 $a^m \neq 1$이다.

(3) $1,a,a^2, \cdots, a^{n-1}$은 서로 다른 n개의 n차 단위근이다.

(4) 서로소인 두 자연수 $m, n$에 대해 $a$를 $a=e^{\frac{2m\pi}{n}i}$ 형태로 나타낼 수 있다.

 

$<a>$에 대한 부연설명

$C^* = \{z | z\neq 0, z \in C\}$는 곱셈을 연산으로 하는 가환군이다.

따라서 $<a>$는 $a$에 의해 생성된 $C^*$의 순환부분군이 된다.

 

단위복소수 $a$가 n차 원시근이라면 집합 $<a>$의 원소의 개수가 n개이고 n개의 단위복소수 $1,a,a^2, \cdots , a^{n-1}$ 가 $<a>$에 속한다. $<a>$에 속하는 원소는 서로 다르며 모든 원소가 n제곱하면 1이다. 따라서 $1,a,a^2 , \cdots , a^{n-1}$은 서로 다른 n차 단위근이다.

 

$a$가 n차 원시근이라면 적당한 자연수 $m$에 대해 $a=e^{\frac{2m\pi}{n}i}$ 형태로 나타낼 수 있다. 이 때 $m, n$은 서로소이다.