지수함수 활용 문제 예제 3가지

지수함수는 빠르게 증가하거나 감소하는 현상을 모델링하는 데 사용되며, 금융, 물리학, 생물학 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 이번 글에서는 지수함수를 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 은행 예금 복리 계산

문제: 한 은행에 연 5% 복리로 1,000만 원을 예금했습니다. 10년 후의 예금액을 계산하세요.

풀이:

복리 계산은 다음 지수함수로 표현됩니다:

$$A(t) = P(1 + r)^t,$$

여기서:

• $P$: 초기 원금 (1,000만 원)
• $r$: 연 이자율 (0.05)
• $t$: 투자 기간 (10년)

따라서 10년 후의 예금액은:

$$A(10) = 1,000(1 + 0.05)^{10}.$$

계산하면:

$$A(10) = 1,000(1.05)^{10} \approx 1,000 \cdot 1.62889 = 1,628.89 \, \text{(만원)}.$$

따라서 10년 후의 예금액은 약 1,628.89만 원입니다.

예제 2: 방사능 붕괴

문제: 방사성 물질의 초기 양이 100g이고, 반감기가 5년인 물질이 있습니다. 20년 후 남아 있는 방사성 물질의 양을 구하세요.

풀이:

방사능 붕괴는 다음 지수함수로 표현됩니다:

$$M(t) = M_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}},$$

여기서:

• $M_0$: 초기 물질의 양 (100g)
• $T$: 반감기 (5년)
• $t$: 경과 시간 (20년)

따라서:

$$M(20) = 100 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{20}{5}} = 100 \left(\frac{1}{2}\right)^4.$$

계산하면:

$$M(20) = 100 \cdot \frac{1}{16} = 6.25 \, \text{g}.$$

따라서 20년 후 남아 있는 방사성 물질의 양은 6.25g입니다.

예제 3: 인구 성장 모델

문제: 한 도시의 인구는 매년 3%씩 증가하며, 현재 인구가 50만 명입니다. 15년 후의 예상 인구를 구하세요.

풀이:

인구 성장은 다음 지수함수로 표현됩니다:

$$P(t) = P_0 e^{rt},$$

여기서:

• $P_0$: 초기 인구 (50만 명)
• $r$: 연간 증가율 (0.03)
• $t$: 경과 시간 (15년)

따라서:

$$P(15) = 50e^{0.03 \cdot 15}.$$

계산하면:

$$P(15) = 50e^{0.45} \approx 50 \cdot 1.56831 = 78.42 \, \text{(만 명)}.$$

따라서 15년 후의 예상 인구는 약 78.42만 명입니다.

결론

지수함수는 복리 계산, 방사능 붕괴, 인구 성장 등 다양한 상황을 모델링하는 데 활용됩니다. 이를 통해 복잡한 문제를 수학적으로 분석하고 예측할 수 있습니다.

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