삼차함수는 이차함수보다 복잡한 곡선 형태를 가지며, 극대값과 극소값, 변화율을 분석하는 데 활용됩니다. 삼차함수는 다양한 실생활 문제를 모델링하는 데 유용합니다. 이번 글에서는 삼차함수를 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 수익 극대화 문제
문제: 한 회사의 하루 생산량 x와 관련된 수익 함수 R(x)는 다음과 같습니다:
R(x)=−2x3+12x2−20x+30.
1. 생산량 x에 따른 수익을 극대화하려면 x의 값을 구하세요. 2. 극대 수익을 계산하세요.
풀이:
1. 극대값과 극소값은 도함수를 통해 구합니다. R′(x)를 구하면:
R′(x)=−6x2+24x−20.
R′(x)=0을 풀어 극값 후보를 찾습니다:
−6x2+24x−20=0⟹x2−4x+103=0.
근의 공식을 사용하여 x 값을 구하면:
x=−(−4)±√(−4)2−4(1)(103)2(1)=4±√432.
근사 계산 결과, x≈1.27 또는 x≈2.73입니다.
2. R″로 x = 1.27과 x = 2.73에서의 함수값을 비교하여 극대값과 극소값을 확인합니다.
최종적으로 x \approx 1.27에서 극대 수익을 얻을 수 있으며, 극대 수익은 R(1.27)을 계산하여 구합니다.
예제 2: 최적 생산 문제
문제: 한 공장의 생산비용 함수 C(x)가 다음과 같이 주어졌습니다:
C(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5.
생산비용이 최소가 되는 생산량 x를 구하세요.
풀이:
1. 최소값은 C'(x) = 0인 지점에서 결정됩니다. C'(x)를 구합니다:
C'(x) = 3x^2 - 12x + 9.
C'(x) = 0을 풀어 x를 구합니다:
3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 3)(x - 1) = 0.
따라서 x = 1 또는 x = 3입니다.
2. C''(x) = 6x - 12를 사용하여 x = 1과 x = 3에서의 값을 확인합니다:
C''(1) = 6(1) - 12 = -6 \, \text{(최대)}, \quad C''(3) = 6(3) - 12 = 6 \, \text{(최소)}.
따라서 x = 3에서 최소 비용이 발생하며, 최소 비용은 C(3)을 계산하여 구합니다.
예제 3: 성장 모델 분석
문제: 한 지역의 인구 성장률을 나타내는 함수가 다음과 같습니다:
P(t) = -t^3 + 6t^2 - 9t + 20.
1. 인구가 최대가 되는 시점 t를 구하고, 2. 그때의 인구를 계산하세요.
풀이:
1. 인구가 최대가 되는 시점은 P'(t) = 0에서 결정됩니다. P'(t)를 구합니다:
P'(t) = -3t^2 + 12t - 9.
P'(t) = 0을 풀어 t를 구합니다:
-3t^2 + 12t - 9 = 0 \implies t^2 - 4t + 3 = 0 \implies (t - 3)(t - 1) = 0.
따라서 t = 1 또는 t = 3입니다.
2. P''(t) = -6t + 12를 사용하여 t = 1과 t = 3에서의 값을 확인합니다:
P''(1) = -6(1) + 12 = 6 \, \text{(최소)}, \quad P''(3) = -6(3) + 12 = -6 \, \text{(최대)}.
따라서 t = 3에서 최대값을 가지며, 최대 인구는 P(3)을 계산하여 구합니다:
P(3) = -(3)^3 + 6(3)^2 - 9(3) + 20 = -27 + 54 - 27 + 20 = 20.
따라서 t = 3일 때 인구는 최대 20명입니다.
결론
삼차함수는 수익 분석, 생산 최적화, 성장 모델링 등 다양한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 도함수를 이용한 극값 분석은 삼차함수 문제를 해결하는 데 필수적인 도구이며, 이를 통해 복잡한 문제를 명확하게 풀이할 수 있습니다.
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