삼차함수 활용 문제 예제 3가지

삼차함수는 이차함수보다 복잡한 곡선 형태를 가지며, 극대값과 극소값, 변화율을 분석하는 데 활용됩니다. 삼차함수는 다양한 실생활 문제를 모델링하는 데 유용합니다. 이번 글에서는 삼차함수를 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 수익 극대화 문제

문제: 한 회사의 하루 생산량 $x$와 관련된 수익 함수 $R(x)$는 다음과 같습니다:

$$ R(x) = -2x^3 + 12x^2 - 20x + 30. $$

1. 생산량 $x$에 따른 수익을 극대화하려면 $x$의 값을 구하세요. 2. 극대 수익을 계산하세요.

풀이:

1. 극대값과 극소값은 도함수를 통해 구합니다. $R'(x)$를 구하면:

$$ R'(x) = -6x^2 + 24x - 20. $$

$R'(x) = 0$을 풀어 극값 후보를 찾습니다:

$$ -6x^2 + 24x - 20 = 0 \implies x^2 - 4x + \frac{10}{3} = 0. $$

근의 공식을 사용하여 $x$ 값을 구하면:

$$ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)\left(\frac{10}{3}\right)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{\frac{4}{3}}}{2}. $$

근사 계산 결과, $x \approx 1.27$ 또는 $x \approx 2.73$입니다.

2. $R''(x) = -12x + 24$로 $x = 1.27$과 $x = 2.73$에서의 함수값을 비교하여 극대값과 극소값을 확인합니다.

최종적으로 $x \approx 1.27$에서 극대 수익을 얻을 수 있으며, 극대 수익은 $R(1.27)$을 계산하여 구합니다.

예제 2: 최적 생산 문제

문제: 한 공장의 생산비용 함수 $C(x)$가 다음과 같이 주어졌습니다:

$$ C(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 5. $$

생산비용이 최소가 되는 생산량 $x$를 구하세요.

풀이:

1. 최소값은 $C'(x) = 0$인 지점에서 결정됩니다. $C'(x)$를 구합니다:

$$ C'(x) = 3x^2 - 12x + 9. $$

$C'(x) = 0$을 풀어 $x$를 구합니다:

$$ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 3)(x - 1) = 0. $$

따라서 $x = 1$ 또는 $x = 3$입니다.

2. $C''(x) = 6x - 12$를 사용하여 $x = 1$과 $x = 3$에서의 값을 확인합니다:

$$ C''(1) = 6(1) - 12 = -6 \, \text{(최대)}, \quad C''(3) = 6(3) - 12 = 6 \, \text{(최소)}. $$

따라서 $x = 3$에서 최소 비용이 발생하며, 최소 비용은 $C(3)$을 계산하여 구합니다.

예제 3: 성장 모델 분석

문제: 한 지역의 인구 성장률을 나타내는 함수가 다음과 같습니다:

$$ P(t) = -t^3 + 6t^2 - 9t + 20. $$

1. 인구가 최대가 되는 시점 $t$를 구하고, 2. 그때의 인구를 계산하세요.

풀이:

1. 인구가 최대가 되는 시점은 $P'(t) = 0$에서 결정됩니다. $P'(t)$를 구합니다:

$$ P'(t) = -3t^2 + 12t - 9. $$

$P'(t) = 0$을 풀어 $t$를 구합니다:

$$ -3t^2 + 12t - 9 = 0 \implies t^2 - 4t + 3 = 0 \implies (t - 3)(t - 1) = 0. $$

따라서 $t = 1$ 또는 $t = 3$입니다.

2. $P''(t) = -6t + 12$를 사용하여 $t = 1$과 $t = 3$에서의 값을 확인합니다:

$$ P''(1) = -6(1) + 12 = 6 \, \text{(최소)}, \quad P''(3) = -6(3) + 12 = -6 \, \text{(최대)}. $$

따라서 $t = 3$에서 최대값을 가지며, 최대 인구는 $P(3)$을 계산하여 구합니다:

$$ P(3) = -(3)^3 + 6(3)^2 - 9(3) + 20 = -27 + 54 - 27 + 20 = 20. $$

따라서 $t = 3$일 때 인구는 최대 20명입니다.

결론

삼차함수는 수익 분석, 생산 최적화, 성장 모델링 등 다양한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 도함수를 이용한 극값 분석은 삼차함수 문제를 해결하는 데 필수적인 도구이며, 이를 통해 복잡한 문제를 명확하게 풀이할 수 있습니다.

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