삼각함수 활용 문제 예제 3가지

삼각함수는 주기적 현상, 각도와 길이의 관계, 파동 분석 등 다양한 실생활 문제를 해결하는 데 활용됩니다. 이번 글에서는 삼각함수를 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 나무 높이 측정

문제: 한 나무의 높이를 측정하려고 합니다. 나무에서 30m 떨어진 지점에서 나무 꼭대기를 바라보는 각도가 $45^\circ$입니다. 나무의 높이를 구하세요.

풀이:

이 문제는 삼각형의 탄젠트를 이용해 해결할 수 있습니다. 탄젠트는 다음과 같이 정의됩니다:

$$ \tan(\theta) = \frac{\text{높이}}{\text{밑변}}. $$

여기서 $\theta = 45^\circ$, 밑변 = 30m입니다. 따라서 나무의 높이 $h$는:

$$ \tan(45^\circ) = \frac{h}{30}. $$

$\tan(45^\circ) = 1$이므로:

$$ 1 = \frac{h}{30} \implies h = 30 \, \text{m}. $$

따라서 나무의 높이는 30m입니다.

예제 2: 계단의 경사각

문제: 길이가 5m인 계단의 경사로가 있습니다. 이 경사로의 높이는 3m입니다. 경사각 $\theta$를 구하세요.

풀이:

경사각은 사인(sine) 함수를 이용해 구할 수 있습니다. 사인은 다음과 같이 정의됩니다:

$$ \sin(\theta) = \frac{\text{높이}}{\text{빗변}}. $$

여기서 높이 = 3m, 빗변 = 5m입니다. 따라서:

$$ \sin(\theta) = \frac{3}{5}. $$

$ \sin(\theta) = 0.6 $일 때, $\theta$는 사인 역함수를 이용해 구할 수 있습니다:

$$ \theta = \arcsin(0.6) \approx 36.87^\circ. $$

따라서 계단의 경사각은 약 $36.87^\circ$입니다.

예제 3: 파도 주기 계산

문제: 바닷가에서 파도의 높이는 다음과 같은 함수로 모델링됩니다:

$$ h(t) = 2\sin\left(\frac{\pi}{5}t\right), $$

여기서 $h(t)$는 시간 $t$초 후의 파도 높이(미터)를 나타냅니다. 1. 파도의 주기를 구하고, 2. 10초 후의 파도 높이를 계산하세요.

풀이:

1. 삼각함수에서 주기는 $y = \sin(kx)$의 경우 $T = \frac{2\pi}{k}$로 계산됩니다. 여기서 $k = \frac{\pi}{5}$이므로:

$$ T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{5}} = 10 \, \text{초}. $$

따라서 파도의 주기는 10초입니다.

2. 10초 후의 파도 높이는 $t = 10$을 $h(t)$에 대입하여 계산합니다:

$$ h(10) = 2\sin\left(\frac{\pi}{5}(10)\right) = 2\sin(2\pi). $$

$\sin(2\pi) = 0$이므로:

$$ h(10) = 2 \cdot 0 = 0 \, \text{m}. $$

따라서 10초 후의 파도 높이는 0m입니다.

결론

삼각함수는 높이 측정, 각도 계산, 주기적인 변화 분석 등 실생활에서 다양하게 활용됩니다. 위의 예제를 통해 삼각함수를 적용하여 문제를 해결하는 방법을 이해할 수 있습니다.

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