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수학

삼각함수 활용 문제 예제 3가지

by 여행과 수학 2024. 12. 20.
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삼각함수는 주기적 현상, 각도와 길이의 관계, 파동 분석 등 다양한 실생활 문제를 해결하는 데 활용됩니다. 이번 글에서는 삼각함수를 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

삼각함수 활용 문제

예제 1: 나무 높이 측정

문제: 한 나무의 높이를 측정하려고 합니다. 나무에서 30m 떨어진 지점에서 나무 꼭대기를 바라보는 각도가 45입니다. 나무의 높이를 구하세요.

풀이:

이 문제는 삼각형의 탄젠트를 이용해 해결할 수 있습니다. 탄젠트는 다음과 같이 정의됩니다:

tan(θ)=높이밑변.

여기서 θ=45, 밑변 = 30m입니다. 따라서 나무의 높이 h는:

tan(45)=h30.

tan(45)=1이므로:

1=h30h=30m.

따라서 나무의 높이는 30m입니다.

예제 2: 계단의 경사각

문제: 길이가 5m인 계단의 경사로가 있습니다. 이 경사로의 높이는 3m입니다. 경사각 θ를 구하세요.

풀이:

경사각은 사인(sine) 함수를 이용해 구할 수 있습니다. 사인은 다음과 같이 정의됩니다:

sin(θ)=높이빗변.

여기서 높이 = 3m, 빗변 = 5m입니다. 따라서:

sin(θ)=35.

sin(θ)=0.6일 때, θ는 사인 역함수를 이용해 구할 수 있습니다:

θ=arcsin(0.6)36.87.

따라서 계단의 경사각은 약 36.87입니다.

예제 3: 파도 주기 계산

문제: 바닷가에서 파도의 높이는 다음과 같은 함수로 모델링됩니다:

h(t)=2sin(π5t),

여기서 h(t)는 시간 t초 후의 파도 높이(미터)를 나타냅니다. 1. 파도의 주기를 구하고, 2. 10초 후의 파도 높이를 계산하세요.

풀이:

1. 삼각함수에서 주기는 y=sin(kx)의 경우 T=2πk로 계산됩니다. 여기서 k=π5이므로:

T=2ππ5=10.

따라서 파도의 주기는 10초입니다.

2. 10초 후의 파도 높이는 t=10h(t)에 대입하여 계산합니다:

h(10)=2sin(π5(10))=2sin(2π).

sin(2π)=0이므로:

h(10)=20=0m.

따라서 10초 후의 파도 높이는 0m입니다.

결론

삼각함수는 높이 측정, 각도 계산, 주기적인 변화 분석 등 실생활에서 다양하게 활용됩니다. 위의 예제를 통해 삼각함수를 적용하여 문제를 해결하는 방법을 이해할 수 있습니다.

 

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