사차함수 활용 문제 예제 3가지

사차함수는 네 번째 차수를 갖는 다항식으로, 복잡한 변화를 모델링하거나 특정 조건을 만족하는 문제를 해결하는 데 활용됩니다. 사차함수는 물리학, 공학, 최적화 문제 등에서 응용되며, 이번 글에서는 사차함수를 활용한 문제 예제 3가지를 소개합니다.

예제 1: 다리 구조 안정성 분석

문제: 어떤 다리의 단면이 사차함수로 모델링됩니다. 단면의 함수는 다음과 같습니다:

$$f(x) = -x^4 + 6x^3 - 9x^2 + 4x + 2,$$

여기서 $x$는 다리의 폭을 나타냅니다. 다리의 단면에서 최대 높이를 구하세요.

풀이:

1. 극값을 찾기 위해 도함수 $f'(x)$를 계산합니다:

$$f'(x) = -4x^3 + 18x^2 - 18x + 4.$$

2. $f'(x) = 0$을 풀어 극값 후보를 찾습니다:

$$-4x^3 + 18x^2 - 18x + 4 = 0.$$

이 방정식은 수치적으로 해를 구하거나 근사값을 찾아야 합니다. 예를 들어, 근사 계산 결과 $x \approx 0.5$, $x \approx 2$ 등이 극값 후보가 될 수 있습니다.

3. $f''(x)$를 사용하여 각 지점의 성격(최대값/최소값)을 확인한 뒤, 최대 높이를 계산합니다.

예제 2: 최적화 문제

문제: 사차함수로 모델링된 비용 함수 $C(x)$가 다음과 같습니다:

$$C(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1.$$

최소 비용을 발생시키는 $x$ 값을 구하고, 그때의 최소 비용을 계산하세요.

풀이:

1. 극값을 찾기 위해 $C'(x)$를 계산합니다:

$$C'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4.$$

2. $C'(x) = 0$을 풀어 극값 후보를 찾습니다:

$$4(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = 0 \implies x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0.$$

이 방정식은 $(x - 1)^3 = 0$으로 인수분해되므로 $x = 1$이 유일한 해입니다.

3. $C''(x)$를 계산하여 $x = 1$에서의 성격을 확인합니다:

$$C''(x) = 12x^2 - 24x + 12.$$

$C''(1) = 12(1)^2 - 24(1) + 12 = 0$이므로 이 지점에서의 성격은 $C'''(x)$를 통해 확인하거나 다른 분석이 필요합니다. 계산 결과 $x = 1$은 최소점임을 확인하고, 최소 비용은 $C(1) = 1^4 - 4(1)^3 + 6(1)^2 - 4(1) + 1 = 0$입니다.

예제 3: 데이터 곡선 맞춤

문제: 실험 데이터를 근사하기 위해 사차함수 $y = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$를 사용합니다. 다음과 같은 데이터가 주어졌을 때:

• $(x_1, y_1) = (0, 1)$
• $(x_2, y_2) = (1, 2)$
• $(x_3, y_3) = (2, 0)$
• $(x_4, y_4) = (3, -1)$
• $(x_5, y_5) = (4, 1)$

$a, b, c, d, e$를 구하세요.

풀이:

1. 각 데이터 점을 함수에 대입하여 5개의 연립방정식을 얻습니다:

$$\begin{aligned} &e = 1, \\ a + b + c + d + e = 2, \\ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 0, \\ 81a + 27b + 9c + 3d + e = -1, \\ 256a + 64b + 16c + 4d + e = 1. \end{aligned}$$

2. 연립방정식을 풀어 $a, b, c, d, e$를 계산합니다. 계산 결과 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$의 값은 수치 계산 도구를 사용하거나 행렬 방식을 이용해 구할 수 있습니다.

결론

사차함수는 구조 분석, 최적화 문제, 데이터 근사 등 다양한 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 도함수와 고차방정식 풀이를 활용하면 복잡한 문제를 체계적으로 분석하고 해결할 수 있습니다.

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