지수함수 미분 활용 문제 예제 3가지

지수함수의 미분은 기울기 계산, 성장률 분석, 접선 방정식 구하기 등 다양한 문제를 해결하는 데 활용됩니다. 이번 글에서는 지수함수 미분의 활용 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 특정 점에서의 기울기 구하기

문제: 함수 $f(x) = e^x$에서 $x = 1$일 때의 기울기를 구하세요.

풀이:

1. $f(x) = e^x$의 미분은 다음과 같습니다:

$$ f'(x) = e^x. $$

2. $x = 1$일 때의 기울기를 계산합니다:

$$ f'(1) = e^1 = e. $$

따라서 $x = 1$에서의 기울기는 $e$입니다.

예제 2: 접선의 방정식 구하기

문제: 함수 $g(x) = 2e^x$에서 $x = 0$에서의 접선의 방정식을 구하세요.

풀이:

1. $g(x) = 2e^x$의 미분을 구합니다:

$$ g'(x) = 2e^x. $$

2. $x = 0$에서의 기울기를 계산합니다:

$$ g'(0) = 2e^0 = 2. $$

3. $g(x)$에서 $x = 0$일 때의 $y$ 값을 구합니다:

$$ g(0) = 2e^0 = 2. $$

4. 접선의 방정식은 기울기-점 방정식을 사용합니다:

$$ y - y_1 = m(x - x_1), $$

여기서 $m = 2$, $(x_1, y_1) = (0, 2)$이므로:

$$ y - 2 = 2(x - 0). $$

이를 정리하면:

$$ y = 2x + 2. $$

따라서 접선의 방정식은 $y = 2x + 2$입니다.

예제 3: 성장률 계산

문제: 함수 $h(t) = 5e^{0.3t}$에서 $t = 2$일 때의 성장률(미분값)을 계산하세요.

풀이:

1. $h(t)$의 미분을 구합니다:

$$ h'(t) = \frac{d}{dt}(5e^{0.3t}) = 5 \cdot 0.3e^{0.3t} = 1.5e^{0.3t}. $$

2. $t = 2$일 때의 미분값을 계산합니다:

$$ h'(2) = 1.5e^{0.3 \cdot 2} = 1.5e^{0.6}. $$

3. $e^{0.6}$의 근삿값을 사용하여 계산하면:

$$ h'(2) \approx 1.5 \cdot 1.822 = 2.733. $$

따라서 $t = 2$일 때의 성장률은 약 $2.733$입니다.

결론

지수함수의 미분은 기울기, 접선의 방정식, 성장률 분석 등 다양한 문제를 해결하는 데 사용됩니다. 위의 예제를 통해 지수함수 미분의 원리와 활용법을 이해하고 적용할 수 있습니다.

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