삼각함수 미분 활용 문제 예제 3가지

삼각함수의 미분은 주기적 변화, 기울기 계산, 접선 방정식 등을 구하는 데 활용됩니다. 이번 글에서는 삼각함수의 미분을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 특정 점에서의 기울기 구하기

문제: 함수 $f(x) = \sin x$에서 $x = \frac{\pi}{4}$일 때의 기울기를 구하세요.

풀이:

1. $\sin x$의 미분은 $\cos x$입니다:

$$ f'(x) = \cos x. $$

2. $x = \frac{\pi}{4}$일 때의 기울기를 구합니다:

$$ f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$

따라서 $x = \frac{\pi}{4}$에서의 기울기는 $\frac{\sqrt{2}}{2}$입니다.

예제 2: 접선의 방정식 구하기

문제: 함수 $g(x) = \cos x$에서 $x = \frac{\pi}{3}$에서의 접선의 방정식을 구하세요.

풀이:

1. $\cos x$의 미분은 $-\sin x$입니다:

$$ g'(x) = -\sin x. $$

2. $x = \frac{\pi}{3}$에서 기울기를 구합니다:

$$ g'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}. $$

3. $g(x)$에서 $x = \frac{\pi}{3}$일 때 $y$ 좌표를 구합니다:

$$ g\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}. $$

4. 접선의 방정식은 기울기-점 방정식을 사용합니다:

$$ y - y_1 = m(x - x_1), $$

여기서 $m = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $(x_1, y_1) = \left(\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2}\right)$입니다:

$$ y - \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right). $$

이를 정리하면:

$$ y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + \frac{1}{2}. $$

따라서 접선의 방정식은 $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x + \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + \frac{1}{2}$입니다.

예제 3: 주기 함수의 변곡점 구하기

문제: 함수 $h(x) = \sin x + \cos x$의 변곡점을 구하세요.

풀이:

1. $h(x)$의 미분을 구합니다:

$$ h'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x + \cos x) = \cos x - \sin x. $$

2. $h'(x)$의 2차 미분을 구합니다:

$$ h''(x) = \frac{d}{dx}(\cos x - \sin x) = -\sin x - \cos x. $$

3. 변곡점은 $h''(x) = 0$인 지점에서 발생합니다:

$$ -\sin x - \cos x = 0 \implies \sin x + \cos x = 0. $$

4. $\sin x + \cos x = 0$을 만족하는 $x$는 다음과 같습니다:

$$ x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi \quad (n \in \mathbb{Z}). $$

따라서 $h(x)$는 $x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$에서 변곡점을 가집니다.

결론

삼각함수의 미분은 특정 점에서의 기울기, 접선의 방정식, 변곡점과 같은 주기적 성질을 분석하는 데 중요한 도구입니다. 위의 예제를 통해 삼각함수의 미분 활용법을 이해하고 적용할 수 있습니다.

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