지수함수 적분 활용 예제 문제 4가지

지수함수의 적분은 주기적 변화, 성장 및 감쇠 분석, 누적값 계산 등 다양한 응용에서 활용됩니다. 이번 글에서는 지수함수 적분의 예제 문제와 풀이를 4가지 소개하겠습니다.

예제 1: 정적분을 이용한 면적 계산

문제: 함수 $f(x) = e^x$의 $x = 0$에서 $x = 1$까지 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. $e^x$의 부정적분은 다음과 같습니다:

$$ \int e^x \, dx = e^x + C. $$

2. $x = 0$에서 $x = 1$까지 정적분합니다:

$$ \int_0^1 e^x \, dx = \left[e^x\right]_0^1 = e^1 - e^0. $$

3. 계산하면:

$$ e - 1. $$

따라서 곡선 아래의 면적은 $e - 1$입니다.

예제 2: 성장 모델 누적 계산

문제: 인구가 시간에 따라 $P(t) = 100e^{0.05t}$로 증가할 때, $t = 0$에서 $t = 10$까지 누적 인구 증가량을 구하세요.

풀이:

1. $P(t)$의 부정적분을 구합니다:

$$ \int P(t) \, dt = \int 100e^{0.05t} \, dt = \frac{100}{0.05}e^{0.05t} + C = 2000e^{0.05t} + C. $$

2. $t = 0$에서 $t = 10$까지 정적분합니다:

$$ \int_0^{10} 100e^{0.05t} \, dt = \left[2000e^{0.05t}\right]_0^{10}. $$

3. 계산하면:

$$ 2000e^{0.5} - 2000e^{0}. $$

4. $e^{0.5} \approx 1.64872$를 대입하여 근삿값을 구합니다:

$$ 2000(1.64872 - 1) = 2000 \cdot 0.64872 = 1297.44. $$

따라서 누적 인구 증가량은 약 $1297.44$입니다.

예제 3: 감쇠 모델에서 남은 양 계산

문제: 방사성 물질의 양이 $Q(t) = Q_0e^{-0.1t}$로 감소한다고 할 때, $t = 0$에서 $t = 5$까지 손실된 물질의 양을 구하세요. (초기 양 $Q_0 = 500$)

풀이:

1. 손실된 양은 초기 총량에서 남은 양을 뺀 값입니다. 남은 양은 $Q(t)$의 정적분으로 구합니다:

$$ \int_0^5 Q(t) \, dt = \int_0^5 500e^{-0.1t} \, dt. $$

2. $500e^{-0.1t}$의 부정적분을 구합니다:

$$ \int 500e^{-0.1t} \, dt = \frac{500}{-0.1}e^{-0.1t} + C = -5000e^{-0.1t} + C. $$

3. $t = 0$에서 $t = 5$까지 정적분합니다:

$$ \int_0^5 500e^{-0.1t} \, dt = \left[-5000e^{-0.1t}\right]_0^5. $$

4. 계산하면:

$$ -5000e^{-0.5} + 5000e^{0}. $$

5. $e^{-0.5} \approx 0.60653$을 대입하여 근삿값을 구합니다:

$$ -5000(0.60653) + 5000(1) = -3032.65 + 5000 = 1967.35. $$

따라서 손실된 물질의 양은 약 $1967.35$입니다.

예제 4: 평균값 계산

문제: 함수 $h(x) = 3e^{2x}$의 평균값을 $x = 0$에서 $x = 1$까지 구하세요.

풀이:

1. 평균값 공식은 다음과 같습니다:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{b-a} \int_a^b h(x) \, dx. $$

2. $h(x)$를 부정적분합니다:

$$ \int h(x) \, dx = \int 3e^{2x} \, dx = \frac{3}{2}e^{2x} + C. $$

3. $x = 0$에서 $x = 1$까지 정적분합니다:

$$ \int_0^1 3e^{2x} \, dx = \left[\frac{3}{2}e^{2x}\right]_0^1. $$

4. 계산하면:

$$ \frac{3}{2}e^{2} - \frac{3}{2}e^{0}. $$

5. $e^{2} \approx 7.389$를 대입하여 계산하면:

$$ \frac{3}{2}(7.389 - 1) = \frac{3}{2} \cdot 6.389 = 9.584. $$

6. 평균값은:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{1-0} \cdot 9.584 = 9.584. $$

따라서 평균값은 약 $9.584$입니다.

결론

지수함수의 적분은 면적 계산, 누적 성장 분석, 감쇠 과정, 평균값 구하기 등 다양한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 지수함수 적분의 기본 원리와 활용법을 익힐 수 있습니다.

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