사차함수 미분 활용 문제 예제 3가지

사차함수의 미분은 극값, 변곡점, 접선 방정식 등을 구하는 데 유용하며, 특히 고차원 함수의 기울기와 곡률 분석에 중요합니다. 이번 글에서는 사차함수의 미분을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 극값 구하기

문제: 함수 $f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2$의 극값을 구하세요.

풀이:

1. $f(x)$의 미분을 구합니다:

$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3 + 6x^2) = 4x^3 - 12x^2 + 12x. $$

2. $f'(x) = 0$을 풀어 극점의 $x$ 값을 구합니다:

$$ 4x^3 - 12x^2 + 12x = 0 \implies 4x(x^2 - 3x + 3) = 0. $$

3. $x = 0$은 한 해이며, $x^2 - 3x + 3 = 0$의 해는 허근입니다. 따라서 극점은 $x = 0$입니다.

4. $x = 0$에서 $f(x)$ 값을 계산합니다:

$$ f(0) = (0)^4 - 4(0)^3 + 6(0)^2 = 0. $$

따라서 극값은 $x = 0$에서 $f(0) = 0$입니다.

예제 2: 변곡점 구하기

문제: 함수 $g(x) = 2x^4 - 4x^3 + x^2$의 변곡점을 구하세요.

풀이:

1. $g(x)$의 1차 및 2차 미분을 구합니다:

$$ g'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4 - 4x^3 + x^2) = 8x^3 - 12x^2 + 2x, $$ $$ g''(x) = \frac{d}{dx}(8x^3 - 12x^2 + 2x) = 24x^2 - 24x + 2. $$

2. 변곡점은 $g''(x) = 0$일 때 발생합니다:

$$ 24x^2 - 24x + 2 = 0 \implies 12x^2 - 12x + 1 = 0. $$

3. 근의 공식을 사용하여 $x$를 구합니다:

$$ x = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(12)(1)}}{2(12)} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 48}}{24} = \frac{12 \pm \sqrt{96}}{24} = \frac{12 \pm 4\sqrt{6}}{24} = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{6}. $$

4. 변곡점은 $x = \frac{1 + \sqrt{6}}{6}$와 $x = \frac{1 - \sqrt{6}}{6}$에서 발생합니다.

예제 3: 접선의 방정식 구하기

문제: 함수 $h(x) = x^4 - 2x^2 + 1$에서 $x = 1$에서의 접선의 방정식을 구하세요.

풀이:

1. $h(x)$의 미분을 구합니다:

$$ h'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 1) = 4x^3 - 4x. $$

2. $x = 1$에서의 기울기를 구합니다:

$$ h'(1) = 4(1)^3 - 4(1) = 4 - 4 = 0. $$

3. $x = 1$에서 $h(x)$ 값을 계산합니다:

$$ h(1) = (1)^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0. $$

4. 접선의 방정식은 기울기-점 방정식을 사용합니다. $m = 0$이므로:

$$ y - y_1 = m(x - x_1) \implies y - 0 = 0(x - 1) \implies y = 0. $$

따라서 접선의 방정식은 $y = 0$입니다.

결론

사차함수의 미분은 극값, 변곡점, 접선의 방정식과 같은 다양한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 사차함수의 미분을 실질적으로 활용하는 방법을 이해할 수 있습니다.

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