삼각함수 적분 활용 예제 문제 4가지

삼각함수의 적분은 주기적 변화의 면적 계산, 물리적 문제 해결, 평균값 구하기 등 다양한 응용에서 중요한 역할을 합니다. 이번 글에서는 삼각함수 적분을 활용한 문제와 그 풀이 예제 4가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 정적분을 이용한 면적 계산

문제: 함수 $f(x) = \sin x$의 $x = 0$에서 $x = \pi$까지 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. $\sin x$의 부정적분은 다음과 같습니다:

$$ \int \sin x \, dx = -\cos x + C. $$

2. $x = 0$에서 $x = \pi$까지 정적분합니다:

$$ \int_0^\pi \sin x \, dx = \left[-\cos x\right]_0^\pi. $$

3. 계산하면:

$$ -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-(1)) = 1 + 1 = 2. $$

따라서 곡선 아래의 면적은 $2$입니다.

예제 2: 주기적 변화 계산

문제: 함수 $g(x) = \cos x$의 한 주기($x = 0$에서 $x = 2\pi$) 동안 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. $\cos x$의 부정적분은 다음과 같습니다:

$$ \int \cos x \, dx = \sin x + C. $$

2. $x = 0$에서 $x = 2\pi$까지 정적분합니다:

$$ \int_0^{2\pi} \cos x \, dx = \left[\sin x\right]_0^{2\pi}. $$

3. 계산하면:

$$ \sin(2\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0. $$

따라서 한 주기 동안의 순면적은 $0$입니다. (상부와 하부 면적이 상쇄됨)

예제 3: 곡선 사이의 넓이

문제: 두 함수 $f(x) = \sin x$와 $g(x) = \cos x$의 $x = 0$에서 $x = \frac{\pi}{2}$까지의 넓이를 구하세요.

풀이:

1. 두 함수 사이의 넓이는 $|f(x) - g(x)|$의 적분으로 구합니다:

$$ A = \int_0^{\frac{\pi}{2}} |\sin x - \cos x| \, dx. $$

2. $x = 0$에서 $x = \frac{\pi}{4}$까지는 $\sin x - \cos x < 0$이므로 부호를 반대로 합니다. $x = \frac{\pi}{4}$에서 $x = \frac{\pi}{2}$까지는 $\sin x - \cos x > 0$이므로 그대로 적분합니다:

$$ A = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x) \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x - \cos x) \, dx. $$

3. 각 구간을 적분합니다:

$$ \int (\cos x - \sin x) \, dx = \sin x + \cos x + C, \quad \int (\sin x - \cos x) \, dx = -\cos x - \sin x + C. $$

4. 계산 결과:

$$ A = \left[\sin x + \cos x\right]_0^{\frac{\pi}{4}} + \left[-\cos x - \sin x\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}. $$

정리하면:

$$ A = \sqrt{2} - 1 + (\sqrt{2} - 1) = 2\sqrt{2} - 2. $$

따라서 두 곡선 사이의 넓이는 $2\sqrt{2} - 2$입니다.

예제 4: 평균값 계산

문제: 함수 $h(x) = \sin x$의 평균값을 $x = 0$에서 $x = \pi$까지 구하세요.

풀이:

1. 평균값 공식은 다음과 같습니다:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx. $$

2. $a = 0$, $b = \pi$일 때 정적분을 계산합니다:

$$ \int_0^\pi \sin x \, dx = \left[-\cos x\right]_0^\pi. $$

3. 계산 결과:

$$ -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-(1)) = 1 + 1 = 2. $$

4. 평균값은:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{\pi - 0} \cdot 2 = \frac{2}{\pi}. $$

따라서 평균값은 $\frac{2}{\pi}$입니다.

결론

삼각함수의 적분은 면적 계산, 주기적 변화 분석, 곡선 사이의 넓이, 평균값 구하기 등 다양한 문제에서 활용됩니다. 위의 예제를 통해 삼각함수 적분의 기본 원리와 실질적 응용을 익힐 수 있습니다.

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