로그함수 미분 활용 문제 예제 3가지

로그함수의 미분은 변화율 계산, 접선의 방정식, 복잡한 함수의 기울기 분석 등 다양한 수학적 및 실질적 문제를 해결하는 데 활용됩니다. 이번 글에서는 로그함수 미분을 활용한 예제 문제와 풀이를 3가지 소개하겠습니다.

예제 1: 특정 점에서의 기울기 구하기

문제: 함수 $f(x) = \ln x$에서 $x = e$일 때의 기울기를 구하세요.

풀이:

1. $f(x) = \ln x$의 미분은 다음과 같습니다:

$$ f'(x) = \frac{1}{x}. $$

2. $x = e$일 때의 기울기를 계산합니다:

$$ f'(e) = \frac{1}{e}. $$

따라서 $x = e$에서의 기울기는 $\frac{1}{e}$입니다.

예제 2: 접선의 방정식 구하기

문제: 함수 $g(x) = \ln(2x)$에서 $x = 1$에서의 접선의 방정식을 구하세요.

풀이:

1. $g(x) = \ln(2x)$의 미분을 구합니다:

$$ g'(x) = \frac{d}{dx}(\ln(2x)) = \frac{1}{2x} \cdot 2 = \frac{1}{x}. $$

2. $x = 1$에서의 기울기를 계산합니다:

$$ g'(1) = \frac{1}{1} = 1. $$

3. $g(x)$에서 $x = 1$일 때 $y$ 값을 구합니다:

$$ g(1) = \ln(2 \cdot 1) = \ln 2. $$

4. 접선의 방정식은 기울기-점 방정식을 사용합니다:

$$ y - y_1 = m(x - x_1), $$

여기서 $m = 1$, $(x_1, y_1) = (1, \ln 2)$이므로:

$$ y - \ln 2 = 1(x - 1). $$

이를 정리하면:

$$ y = x - 1 + \ln 2. $$

따라서 접선의 방정식은 $y = x - 1 + \ln 2$입니다.

예제 3: 복잡한 함수의 기울기 계산

문제: 함수 $h(x) = \ln(x^2 + 1)$에서 $x = 1$일 때의 기울기를 구하세요.

풀이:

1. $h(x) = \ln(x^2 + 1)$의 미분을 구합니다. 체인룰을 사용하여:

$$ h'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}. $$

2. $x = 1$일 때의 기울기를 계산합니다:

$$ h'(1) = \frac{2(1)}{1^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1. $$

따라서 $x = 1$에서의 기울기는 $1$입니다.

결론

로그함수의 미분은 단순 로그, 복잡한 로그식, 그리고 체인룰을 통한 미분 문제를 해결하는 데 매우 유용합니다. 위의 예제를 통해 로그함수 미분의 기본 원리와 적용 방법을 익힐 수 있습니다.

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