이차함수 미분 활용 문제 예제 3가지

이차함수의 미분은 기울기 계산, 극값(최대값과 최소값) 구하기, 접선의 방정식을 구하는 데 활용됩니다. 이번 글에서는 이차함수의 미분을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 특정 점에서 기울기 구하기

문제: 함수 $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$에서 $x = 2$일 때의 기울기를 구하세요.

풀이:

1. 주어진 이차함수를 미분합니다:

$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x + 1) = 6x - 2. $$

2. $x = 2$일 때의 기울기를 구합니다:

$$ f'(2) = 6(2) - 2 = 12 - 2 = 10. $$

따라서 $x = 2$에서의 기울기는 $10$입니다.

예제 2: 극값(최대값 또는 최소값) 구하기

문제: 함수 $g(x) = -x^2 + 4x - 3$의 극값을 구하고, 그 성격(최대값 또는 최소값)을 판단하세요.

풀이:

1. $g(x)$의 미분을 구합니다:

$$ g'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 4x - 3) = -2x + 4. $$

2. $g'(x) = 0$을 풀어 극점의 $x$ 값을 구합니다:

$$ -2x + 4 = 0 \implies x = 2. $$

3. $x = 2$일 때 $g(x)$의 값을 계산합니다:

$$ g(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1. $$

4. $g''(x)$로 성격을 확인합니다:

$$ g''(x) = \frac{d}{dx}(-2x + 4) = -2. $$

$g''(x) = -2$는 음수이므로 $x = 2$에서 극대값을 가집니다.

따라서 극대값은 $1$입니다.

예제 3: 접선의 방정식 구하기

문제: 함수 $h(x) = 2x^2 - 3x + 1$에서 $x = 1$에서의 접선의 방정식을 구하세요.

풀이:

1. $h(x)$의 미분을 구합니다:

$$ h'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 3x + 1) = 4x - 3. $$

2. $x = 1$일 때의 기울기를 구합니다:

$$ h'(1) = 4(1) - 3 = 4 - 3 = 1. $$

3. $x = 1$일 때 $h(x)$의 값을 계산합니다:

$$ h(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0. $$

4. 접선의 방정식은 기울기-점 방정식을 사용합니다:

$$ y - y_1 = m(x - x_1). $$

여기서 $m = 1$, $(x_1, y_1) = (1, 0)$이므로:

$$ y - 0 = 1(x - 1) \implies y = x - 1. $$

따라서 접선의 방정식은 $y = x - 1$입니다.

결론

이차함수의 미분은 특정 점에서의 기울기 계산, 극값(최대값 또는 최소값) 구하기, 접선의 방정식 도출 등 다양한 문제를 해결하는 데 활용됩니다. 위의 예제를 통해 이차함수 미분의 기본 원리를 이해하고 적용할 수 있습니다.

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