일차함수 적분 활용 예제 문제 4가지

일차함수의 적분은 곡선 아래의 면적, 물리적 계산, 누적 변화 등을 계산하는 데 활용됩니다. 이번 글에서는 일차함수 적분을 활용한 예제 문제와 그 풀이를 4가지 소개하겠습니다.

예제 1: 일차함수의 정적분

문제: 함수 $f(x) = 2x + 3$을 $x = 1$에서 $x = 4$까지 정적분하여 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. $f(x)$의 부정적분을 구합니다:

$$ \int f(x) \, dx = \int (2x + 3) \, dx = x^2 + 3x + C. $$

2. $x = 1$에서 $x = 4$까지 정적분합니다:

$$ \int_1^4 (2x + 3) \, dx = \left[x^2 + 3x\right]_1^4 = (4^2 + 3 \cdot 4) - (1^2 + 3 \cdot 1). $$

3. 계산하면:

$$ (16 + 12) - (1 + 3) = 28 - 4 = 24. $$

따라서 곡선 아래의 면적은 $24$입니다.

예제 2: 물리적 문제 - 거리 계산

문제: 속도가 $v(t) = 3t + 2$ (단위: m/s)로 주어졌을 때, $t = 0$초에서 $t = 5$초까지 이동한 거리를 구하세요.

풀이:

1. 이동 거리는 속도를 적분하여 구합니다:

$$ s = \int_0^5 v(t) \, dt = \int_0^5 (3t + 2) \, dt. $$

2. $v(t)$의 부정적분을 구합니다:

$$ \int (3t + 2) \, dt = \frac{3t^2}{2} + 2t + C. $$

3. 정적분을 계산합니다:

$$ s = \left[\frac{3t^2}{2} + 2t\right]_0^5 = \left(\frac{3(5)^2}{2} + 2 \cdot 5\right) - \left(\frac{3(0)^2}{2} + 2 \cdot 0\right). $$

4. 계산하면:

$$ \frac{3(25)}{2} + 10 = \frac{75}{2} + 10 = \frac{95}{2} = 47.5 \, \text{m}. $$

따라서 이동한 거리는 $47.5 \, \text{m}$입니다.

예제 3: 평균값 정리

문제: 함수 $f(x) = -x + 4$의 $x = 0$에서 $x = 4$까지 평균값을 구하세요.

풀이:

1. 평균값 공식은 다음과 같습니다:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx. $$

2. $a = 0$, $b = 4$일 때 정적분을 계산합니다:

$$ \int_0^4 (-x + 4) \, dx = \left[-\frac{x^2}{2} + 4x\right]_0^4 = \left(-\frac{4^2}{2} + 4 \cdot 4\right) - \left(-\frac{0^2}{2} + 4 \cdot 0\right). $$

3. 계산하면:

$$ -\frac{16}{2} + 16 = -8 + 16 = 8. $$

4. 평균값은:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{4-0} \cdot 8 = 2. $$

따라서 평균값은 $2$입니다.

예제 4: 넓이 계산 - 두 곡선 사이

문제: 두 함수 $f(x) = x + 1$과 $g(x) = -x + 3$ 사이의 넓이를 $x = 0$에서 $x = 2$까지 구하세요.

풀이:

1. 두 함수 사이의 넓이는 $f(x)$와 $g(x)$의 차를 적분하여 구합니다:

$$ A = \int_0^2 \left[(x + 1) - (-x + 3)\right] \, dx. $$

2. 함수의 차를 계산합니다:

$$ (x + 1) - (-x + 3) = x + 1 + x - 3 = 2x - 2. $$

3. $2x - 2$를 정적분합니다:

$$ A = \int_0^2 (2x - 2) \, dx = \left[x^2 - 2x\right]_0^2. $$

4. 계산하면:

$$ \left[2^2 - 2 \cdot 2\right] - \left[0^2 - 2 \cdot 0\right] = (4 - 4) - (0 - 0) = 0. $$

따라서 두 곡선 사이의 넓이는 $0$입니다. 이는 두 곡선이 겹치는 구간임을 의미합니다.

결론

일차함수의 적분은 면적 계산, 물리적 문제 해결, 평균값 계산 등에 유용하게 활용됩니다. 위의 예제를 통해 일차함수 적분의 다양한 응용을 이해하고 활용하는 방법을 익힐 수 있습니다.

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