삼차함수 미분 활용 문제 예제 3가지

삼차함수의 미분은 극값, 변곡점, 그리고 함수의 기울기와 관련된 문제를 분석하는 데 중요한 역할을 합니다. 이번 글에서는 삼차함수의 미분을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 극값 구하기

문제: 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$의 극값을 구하세요.

풀이:

1. $f(x)$의 미분을 구합니다:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x.$$

2. $f'(x) = 0$을 풀어 극점의 $x$ 값을 구합니다:

$$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0.$$

따라서 $x = 0$ 또는 $x = 2$입니다.

3. 극점에서 $f(x)$ 값을 계산합니다:

$$f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 4 = 4, \quad f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0.$$

따라서 극값은 $x = 0$에서 $f(0) = 4$ (극대값), $x = 2$에서 $f(2) = 0$ (극소값)입니다.

예제 2: 변곡점 구하기

문제: 함수 $g(x) = 2x^3 - 3x^2 + x$의 변곡점을 구하세요.

풀이:

1. $g(x)$의 1차 및 2차 미분을 구합니다:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 3x^2 + x) = 6x^2 - 6x + 1, \quad g''(x) = \frac{d}{dx}(6x^2 - 6x + 1) = 12x - 6.$$

2. 변곡점은 $g''(x) = 0$일 때 발생합니다:

$$12x - 6 = 0 \implies x = \frac{1}{2}.$$

3. $x = \frac{1}{2}$에서 $g(x)$ 값을 계산합니다:

$$g\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 - 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{0}{4} = 0.$$

따라서 변곡점은 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$입니다.

예제 3: 접선의 방정식 구하기

문제: 함수 $h(x) = x^3 - x + 1$에서 $x = -1$에서의 접선의 방정식을 구하세요.

풀이:

1. $h(x)$의 미분을 구합니다:

$$h'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - x + 1) = 3x^2 - 1.$$

2. $x = -1$에서의 기울기를 구합니다:

$$h'(-1) = 3(-1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2.$$

3. $x = -1$에서 $h(x)$ 값을 계산합니다:

$$h(-1) = (-1)^3 - (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1.$$

4. 접선의 방정식은 기울기-점 방정식을 사용합니다:

$$y - y_1 = m(x - x_1).$$

여기서 $m = 2$, $(x_1, y_1) = (-1, 1)$이므로:

$$y - 1 = 2(x + 1).$$

이를 정리하면:

$$y = 2x + 2 + 1 = 2x + 3.$$

따라서 접선의 방정식은 $y = 2x + 3$입니다.

결론

삼차함수의 미분은 극값, 변곡점, 접선의 방정식 등 다양한 문제를 해결하는 데 활용됩니다. 위의 예제를 통해 삼차함수의 미분을 실질적으로 적용하는 방법을 익힐 수 있습니다.

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