일차함수 미분 활용 문제 예제 3가지

일차함수의 미분은 기울기를 구하거나 직선의 변화를 분석하는 데 유용합니다. 이번 글에서는 일차함수의 미분을 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 기울기 계산

문제: 일차함수 $f(x) = 3x + 5$의 기울기를 구하세요.

풀이:

1. 일차함수의 일반형은 $f(x) = ax + b$로, $a$가 기울기입니다.

2. $f(x) = 3x + 5$에서 $a = 3$이므로, 기울기는 $3$입니다.

또는

1. 미분을 사용하여 기울기를 구합니다:

$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x + 5) = 3. $$

따라서 $f(x)$의 기울기는 $3$입니다.

예제 2: 특정 점에서의 기울기

문제: 함수 $f(x) = -2x + 4$에서 $x = 3$일 때의 기울기를 구하세요.

풀이:

1. 일차함수는 모든 구간에서 기울기가 일정합니다.

2. $f(x) = -2x + 4$의 기울기는 상수 $-2$입니다.

따라서 $x = 3$일 때의 기울기도 $-2$입니다.

예제 3: 직선의 접선 방정식 구하기

문제: 함수 $f(x) = 5x - 7$에서 $x = 2$를 지나는 접선의 방정식을 구하세요.

풀이:

1. 함수 $f(x) = 5x - 7$의 기울기는 $5$입니다. 이는 접선의 기울기와 동일합니다.

2. $x = 2$에서의 $f(x)$ 값을 계산합니다:

$$ f(2) = 5(2) - 7 = 10 - 7 = 3. $$

따라서 접선은 점 $(2, 3)$을 지납니다.

3. 접선의 방정식은 기울기-점 방정식을 사용하여 구합니다:

$$ y - y_1 = m(x - x_1). $$

여기서 $m = 5$, $(x_1, y_1) = (2, 3)$이므로:

$$ y - 3 = 5(x - 2). $$

이를 정리하면:

$$ y = 5x - 10 + 3 = 5x - 7. $$

따라서 접선의 방정식은 $y = 5x - 7$입니다.

결론

일차함수의 미분은 기울기 계산, 특정 점에서의 기울기 확인, 접선 방정식 도출 등에 활용됩니다. 위의 예제를 통해 일차함수 미분의 기본 원리를 이해하고 실제 문제를 해결하는 방법을 익힐 수 있습니다.

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