접선의 방정식 활용 예제 문제 4가지

접선의 방정식은 곡선과 한 점에서 접하는 직선의 방정식을 구하는 데 사용되며, 함수의 기울기와 접점의 좌표를 기반으로 계산됩니다. 이번 글에서는 접선의 방정식을 활용한 문제와 그 풀이 예제 4가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 주어진 점에서 접선의 방정식

문제: 함수 $f(x) = x^2$에서 $x = 2$에서의 접선의 방정식을 구하세요.

풀이:

1. 함수 $f(x) = x^2$의 미분을 구합니다:

$$ f'(x) = 2x. $$

2. $x = 2$에서의 기울기는:

$$ f'(2) = 2(2) = 4. $$

3. $x = 2$일 때 $f(x)$의 값은:

$$ f(2) = (2)^2 = 4. $$

4. 접선의 방정식은 기울기-점 방정식을 사용합니다:

$$ y - y_1 = m(x - x_1). $$

여기서 $m = 4$, $(x_1, y_1) = (2, 4)$이므로:

$$ y - 4 = 4(x - 2). $$

이를 정리하면:

$$ y = 4x - 8 + 4 = 4x - 4. $$

따라서 접선의 방정식은 $y = 4x - 4$입니다.

예제 2: 원 위의 점에서 접선의 방정식

문제: 원 $x^2 + y^2 = 25$ 위의 점 $(3, 4)$에서의 접선의 방정식을 구하세요.

풀이:

1. 원의 방정식에서 기울기는 중심 $(0, 0)$과 접점 $(3, 4)$을 연결하는 직선의 수직선으로 결정됩니다.

2. 중심과 접점 간 직선의 기울기는:

$$ m = \frac{4 - 0}{3 - 0} = \frac{4}{3}. $$

3. 접선의 기울기는 수직 조건 $m_1 \cdot m_2 = -1$을 이용해 $m_2 = -\frac{3}{4}$입니다.

4. 접선의 방정식은:

$$ y - y_1 = m(x - x_1). $$

여기서 $m = -\frac{3}{4}$, $(x_1, y_1) = (3, 4)$이므로:

$$ y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3). $$

이를 정리하면:

$$ y = -\frac{3}{4}x + \frac{9}{4} + 4 = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}. $$

따라서 접선의 방정식은 $y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{4}$입니다.

예제 3: 주어진 접선의 기울기로 방정식 구하기

문제: 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$에서 접선의 기울기가 $6$이 되는 점에서 접선의 방정식을 구하세요.

풀이:

1. 함수의 미분을 구합니다:

$$ f'(x) = 3x^2 - 6x. $$

2. $f'(x) = 6$이 되는 $x$를 구합니다:

$$ 3x^2 - 6x = 6 \implies x^2 - 2x - 2 = 0. $$

근의 공식을 사용하여 $x$를 구하면:

$$ x = 1 \pm \sqrt{3}. $$

3. $x = 1 + \sqrt{3}$일 때 $f(x)$ 값을 계산하여 접점을 구합니다. (유사하게 $x = 1 - \sqrt{3}$에서도 접선을 구할 수 있습니다).

4. 접선의 방정식은 기울기-점 방정식을 사용하여 구할 수 있습니다. 접점 대입 과정을 통해 구체적인 결과를 정리합니다.

예제 4: 접선과 곡선의 교점 확인

문제: 함수 $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$의 $x = 1$에서 접선의 방정식을 구하고, 접선과 곡선의 다른 교점이 있는지 확인하세요.

풀이:

1. 함수의 미분은:

$$ f'(x) = 4x - 3. $$

2. $x = 1$에서 기울기는:

$$ f'(1) = 4(1) - 3 = 1. $$

3. $f(1)$ 값을 구합니다:

$$ f(1) = 2(1)^2 - 3(1) + 1 = 0. $$

4. 접선의 방정식은:

$$ y - 0 = 1(x - 1) \implies y = x - 1. $$

5. 접선과 곡선의 교점을 확인하려면 $f(x) = x - 1$을 풉니다:

$$ 2x^2 - 3x + 1 = x - 1 \implies 2x^2 - 4x + 2 = 0 \implies (x - 1)^2 = 0. $$

접선은 곡선과 한 점에서만 만납니다.

결론

접선의 방정식은 곡선의 성질을 분석하거나 기하학적 관계를 이해하는 데 중요한 도구입니다. 위의 예제를 통해 접선 방정식을 구하고 활용하는 다양한 방법을 익힐 수 있습니다.

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