이차함수 적분 활용 예제 문제 4가지

이차함수의 적분은 곡선 아래의 면적 계산, 물리적 문제 해결, 평균값 구하기 등 다양한 응용에서 활용됩니다. 이번 글에서는 이차함수 적분을 활용한 문제와 그 풀이를 4가지 소개하겠습니다.

예제 1: 정적분을 이용한 면적 계산

문제: 함수 $f(x) = x^2 + 2x + 1$의 $x = 0$에서 $x = 3$까지 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. $f(x)$의 부정적분을 구합니다:

$$ \int f(x) \, dx = \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C. $$

2. $x = 0$에서 $x = 3$까지 정적분을 계산합니다:

$$ \int_0^3 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2 + x\right]_0^3. $$

3. 계산하면:

$$ \left[\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3\right] - \left[\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0\right] = \left[9 + 9 + 3\right] - 0 = 21. $$

따라서 곡선 아래의 면적은 $21$입니다.

예제 2: 평균값 계산

문제: 함수 $g(x) = 2x^2 - x + 4$의 $x = 1$에서 $x = 4$까지 평균값을 구하세요.

풀이:

1. 평균값 공식은 다음과 같습니다:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{b-a} \int_a^b g(x) \, dx. $$

2. $a = 1$, $b = 4$일 때 $g(x)$를 적분합니다:

$$ \int g(x) \, dx = \int (2x^2 - x + 4) \, dx = \frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 4x + C. $$

3. $x = 1$에서 $x = 4$까지 정적분합니다:

$$ \int_1^4 (2x^2 - x + 4) \, dx = \left[\frac{2x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 4x\right]_1^4. $$

4. 계산하면:

$$ \left[\frac{2(4)^3}{3} - \frac{(4)^2}{2} + 4(4)\right] - \left[\frac{2(1)^3}{3} - \frac{(1)^2}{2} + 4(1)\right]$$

계산을 정리하면:

$$ \left[\frac{128}{3} - 8 + 16\right] - \left[\frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 4\right]. $$

공통 분모를 사용하여 계산하면 결과는 약 $48.17$.

5. 평균값은:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{4-1} \cdot 48.17 = 16.06. $$

따라서 평균값은 약 $16.06$입니다.

예제 3: 물리적 문제 - 거리 계산

문제: 가속도가 $a(t) = 4t$인 물체가 $t = 0$에서 정지 상태에서 시작합니다. $t = 0$에서 $t = 5$까지 이동한 거리를 구하세요.

풀이:

1. 속도 $v(t)$는 가속도를 적분하여 구합니다:

$$ v(t) = \int a(t) \, dt = \int 4t \, dt = 2t^2 + C. $$

2. 초기 조건에서 $v(0) = 0$이므로 $C = 0$입니다. 따라서:

$$ v(t) = 2t^2. $$

3. 이동 거리 $s(t)$는 속도를 적분하여 구합니다:

$$ s(t) = \int v(t) \, dt = \int 2t^2 \, dt = \frac{2t^3}{3} + C. $$

4. 초기 조건에서 $s(0) = 0$이므로 $C = 0$입니다. 따라서:

$$ s(t) = \frac{2t^3}{3}. $$

5. $t = 0$에서 $t = 5$까지 이동한 거리는:

$$ s(5) = \frac{2(5)^3}{3} = \frac{250}{3} \approx 83.33 \, \text{m}. $$

따라서 이동 거리는 약 $83.33 \, \text{m}$입니다.

예제 4: 두 곡선 사이의 넓이

문제: 두 곡선 $y_1 = x^2$과 $y_2 = x + 2$ 사이의 넓이를 $x = 0$에서 $x = 2$까지 구하세요.

풀이:

1. 두 곡선 사이의 넓이는 $y_2 - y_1$의 적분으로 계산합니다:

$$ A = \int_0^2 [(x + 2) - x^2] \, dx. $$

2. 통합하여 적분식을 정리합니다:

$$ A = \int_0^2 (-x^2 + x + 2) \, dx. $$

3. 부정적분을 계산합니다:

$$ \int (-x^2 + x + 2) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x + C. $$

4. 정적분을 계산합니다:

$$ A = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right]_0^2. $$

5. $x = 2$와 $x = 0$에서 값을 대입하면:

$$ \left[-\frac{(2)^3}{3} + \frac{(2)^2}{2} + 2(2)\right] - \left[-\frac{(0)^3}{3} + \frac{(0)^2}{2} + 2(0)\right]. $$

계산 결과:

$$ -\frac{8}{3} + 2 + 4 = \frac{10}{3}. $$

따라서 두 곡선 사이의 넓이는 $\frac{10}{3}$입니다.

결론

이차함수의 적분은 면적 계산, 평균값 구하기, 물리적 문제 해결, 두 곡선 사이의 넓이 계산 등 다양한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 이차함수 적분의 기본 원리와 활용법을 익힐 수 있습니다.

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