삼차함수 적분 활용 예제 문제 4가지

삼차함수의 적분은 곡선 아래의 면적 계산, 물리적 문제 해결, 평균값 구하기 등 다양한 문제에 활용됩니다. 이번 글에서는 삼차함수 적분의 예제 문제와 풀이를 4가지 소개하겠습니다.

예제 1: 정적분을 이용한 면적 계산

문제: 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$의 $x = 0$에서 $x = 2$까지 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. $f(x)$의 부정적분을 구합니다:

$$ \int f(x) \, dx = \int (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = \frac{x^4}{4} - x^3 + x^2 + C. $$

2. $x = 0$에서 $x = 2$까지 정적분을 계산합니다:

$$ \int_0^2 (x^3 - 3x^2 + 2x) \, dx = \left[\frac{x^4}{4} - x^3 + x^2\right]_0^2. $$

3. 계산하면:

$$ \left[\frac{(2)^4}{4} - (2)^3 + (2)^2\right] - \left[\frac{(0)^4}{4} - (0)^3 + (0)^2\right] = \left[\frac{16}{4} - 8 + 4\right] - 0 = 4 - 8 + 4 = 0. $$

따라서 곡선 아래의 면적은 $0$입니다.

예제 2: 물리적 문제 - 위치 계산

문제: 가속도가 $a(t) = 6t$로 주어진 물체가 $t = 0$에서 정지 상태로 출발합니다. $t = 0$에서 $t = 3$까지 물체의 위치를 구하세요.

풀이:

1. 속도 $v(t)$는 가속도를 적분하여 구합니다:

$$ v(t) = \int a(t) \, dt = \int 6t \, dt = 3t^2 + C. $$

2. 초기 조건 $v(0) = 0$에서 $C = 0$이므로:

$$ v(t) = 3t^2. $$

3. 위치 $s(t)$는 속도를 적분하여 구합니다:

$$ s(t) = \int v(t) \, dt = \int 3t^2 \, dt = t^3 + C. $$

4. 초기 조건 $s(0) = 0$에서 $C = 0$이므로:

$$ s(t) = t^3. $$

5. $t = 3$일 때 위치는:

$$ s(3) = (3)^3 = 27. $$

따라서 물체의 위치는 $27$입니다.

예제 3: 평균값 구하기

문제: 함수 $g(x) = 2x^3 - 3x^2 + x$의 $x = 1$에서 $x = 3$까지 평균값을 구하세요.

풀이:

1. 평균값 공식은 다음과 같습니다:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{b-a} \int_a^b g(x) \, dx. $$

2. $a = 1$, $b = 3$일 때 $g(x)$를 적분합니다:

$$ \int g(x) \, dx = \int (2x^3 - 3x^2 + x) \, dx = \frac{2x^4}{4} - x^3 + \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^4}{2} - x^3 + \frac{x^2}{2}. $$

3. $x = 1$에서 $x = 3$까지 정적분합니다:

$$ \int_1^3 (2x^3 - 3x^2 + x) \, dx = \left[\frac{x^4}{2} - x^3 + \frac{x^2}{2}\right]_1^3. $$

4. 계산하면:

$$ \left[\frac{(3)^4}{2} - (3)^3 + \frac{(3)^2}{2}\right] - \left[\frac{(1)^4}{2} - (1)^3 + \frac{(1)^2}{2}\right]. $$

결과는 약 $15.5$.

5. 평균값은:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{3-1} \cdot 15.5 = 7.75. $$

따라서 평균값은 $7.75$입니다.

예제 4: 두 곡선 사이의 넓이

문제: 두 곡선 $y_1 = x^3$과 $y_2 = 3x$ 사이의 넓이를 $x = 0$에서 $x = 2$까지 구하세요.

풀이:

1. 두 곡선 사이의 넓이는 $y_2 - y_1$의 적분으로 계산합니다:

$$ A = \int_0^2 [3x - x^3] \, dx. $$

2. 적분식을 계산합니다:

$$ \int (3x - x^3) \, dx = \frac{3x^2}{2} - \frac{x^4}{4} + C. $$

3. $x = 0$에서 $x = 2$까지 정적분합니다:

$$ A = \left[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_0^2. $$

4. 계산하면:

$$ \left[\frac{3(2)^2}{2} - \frac{(2)^4}{4}\right] - \left[\frac{3(0)^2}{2} - \frac{(0)^4}{4}\right] = \left[6 - 4\right] - 0 = 2. $$

따라서 두 곡선 사이의 넓이는 $2$입니다.

결론

삼차함수의 적분은 면적 계산, 물리적 문제 해결, 평균값 계산, 두 곡선 사이의 넓이 계산 등 다양한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 삼차함수 적분의 기본 원리와 활용법을 익힐 수 있습니다.

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