사차함수 적분 활용 예제 문제 4가지

사차함수의 적분은 곡선 아래의 면적 계산, 평균값 구하기, 물리적 문제 해결 등 다양한 응용에서 중요한 역할을 합니다. 이번 글에서는 사차함수 적분 활용 예제 문제와 그 풀이를 4가지 소개하겠습니다.

예제 1: 곡선 아래의 면적 계산

문제: 함수 $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$의 $x = 0$에서 $x = 2$까지 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. $f(x)$의 부정적분을 구합니다:

$$ \int f(x) \, dx = \int (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x + C. $$

2. $x = 0$에서 $x = 2$까지 정적분합니다:

$$ \int_0^2 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx = \left[\frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x\right]_0^2. $$

3. 계산하면:

$$ \left[\frac{(2)^5}{5} - \frac{2(2)^3}{3} + 2\right] - \left[\frac{(0)^5}{5} - \frac{2(0)^3}{3} + 0\right]. $$

계산 결과:

$$ \frac{32}{5} - \frac{16}{3} + 2 = \frac{96}{15} - \frac{80}{15} + \frac{30}{15} = \frac{46}{15}. $$

따라서 곡선 아래의 면적은 $\frac{46}{15}$입니다.

예제 2: 평균값 계산

문제: 함수 $g(x) = 2x^4 - 3x^2 + 4$의 $x = -1$에서 $x = 1$까지 평균값을 구하세요.

풀이:

1. 평균값 공식은 다음과 같습니다:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{b-a} \int_a^b g(x) \, dx. $$

2. $g(x)$를 부정적분합니다:

$$ \int g(x) \, dx = \int (2x^4 - 3x^2 + 4) \, dx = \frac{2x^5}{5} - x^3 + 4x + C. $$

3. $x = -1$에서 $x = 1$까지 정적분합니다:

$$ \int_{-1}^1 g(x) \, dx = \left[\frac{2x^5}{5} - x^3 + 4x\right]_{-1}^1. $$

4. 계산하면:

$$ \left[\frac{2(1)^5}{5} - (1)^3 + 4(1)\right] - \left[\frac{2(-1)^5}{5} - (-1)^3 + 4(-1)\right]. $$

계산 결과:

$$ \left[\frac{2}{5} - 1 + 4\right] - \left[-\frac{2}{5} + 1 - 4\right] = \frac{4}{5} + 5 = \frac{29}{5}. $$

5. 평균값은:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{1 - (-1)} \cdot \frac{29}{5} = \frac{29}{10}. $$

따라서 평균값은 $\frac{29}{10}$입니다.

예제 3: 두 곡선 사이의 넓이

문제: 두 곡선 $y_1 = x^4 - x^2$와 $y_2 = 2x^2$ 사이의 넓이를 $x = 0$에서 $x = 1$까지 구하세요.

풀이:

1. 두 곡선 사이의 넓이는 $y_2 - y_1$의 적분으로 계산합니다:

$$ A = \int_0^1 [(2x^2) - (x^4 - x^2)] \, dx. $$

2. 적분식을 정리합니다:

$$ A = \int_0^1 (2x^2 - x^4 + x^2) \, dx = \int_0^1 (-x^4 + 3x^2) \, dx. $$

3. 부정적분을 계산합니다:

$$ \int (-x^4 + 3x^2) \, dx = -\frac{x^5}{5} + x^3 + C. $$

4. $x = 0$에서 $x = 1$까지 정적분합니다:

$$ A = \left[-\frac{x^5}{5} + x^3\right]_0^1. $$

5. 계산 결과:

$$ \left[-\frac{(1)^5}{5} + (1)^3\right] - \left[-\frac{(0)^5}{5} + (0)^3\right] = -\frac{1}{5} + 1 = \frac{4}{5}. $$

따라서 두 곡선 사이의 넓이는 $\frac{4}{5}$입니다.

예제 4: 물리적 문제 - 위치 계산

문제: 가속도가 $a(t) = t^3 - 3t$인 물체가 $t = 0$에서 정지 상태로 출발합니다. $t = 0$에서 $t = 2$까지 물체의 위치를 구하세요.

풀이:

1. 속도 $v(t)$는 가속도를 적분하여 구합니다:

$$ v(t) = \int a(t) \, dt = \int (t^3 - 3t) \, dt = \frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2} + C. $$

2. 초기 조건 $v(0) = 0$에서 $C = 0$이므로:

$$ v(t) = \frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2}. $$

3. 위치 $s(t)$는 속도를 적분하여 구합니다:

$$ s(t) = \int v(t) \, dt = \int \left(\frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2}\right) \, dt = \frac{t^5}{20} - \frac{t^3}{2} + C. $$

4. 초기 조건 $s(0) = 0$에서 $C = 0$이므로:

$$ s(t) = \frac{t^5}{20} - \frac{t^3}{2}. $$

5. $t = 2$일 때 위치는:

$$ s(2) = \frac{(2)^5}{20} - \frac{(2)^3}{2} = \frac{32}{20} - \frac{8}{2} = \frac{8}{5} - 4 = -\frac{12}{5}. $$

따라서 물체의 위치는 $-\frac{12}{5}$입니다.

결론

사차함수의 적분은 면적 계산, 평균값 구하기, 곡선 사이의 넓이, 물리적 문제 해결 등에서 매우 유용합니다. 위의 예제를 통해 사차함수 적분의 다양한 활용법을 익힐 수 있습니다.

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