이차함수 활용 문제 예제 3가지

이차함수는 곡선으로 표현되며, 물리적 현상이나 최적화 문제를 다룰 때 유용합니다. 이번 글에서는 이차함수를 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 물체의 포물선 운동

문제: 물체가 지면에서 초기 속도 20m/s로 수직 위로 던져졌을 때, 시간 $t$초 후 물체의 높이 $h(t)$는 다음 식으로 주어집니다:

$$h(t) = -5t^2 + 20t.$$

1. 최고점에 도달하는 시간을 구하고, 2. 최고 높이를 계산하세요.

풀이:

• 이차함수의 최고점은 꼭짓점에서 발생합니다. 이차함수 $y = ax^2 + bx + c$의 꼭짓점 $x$ 좌표는 $x = -\frac{b}{2a}$로 구할 수 있습니다.

여기서 $a = -5$, $b = 20$이므로 최고점에 도달하는 시간은:

$$t = -\frac{20}{2(-5)} = 2 \, \text{(초)}.$$

최고 높이는 $t = 2$를 $h(t)$에 대입하여 계산합니다:

$$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -20 + 40 = 20 \, \text{(m)}.$$

따라서 물체는 2초 후에 최고점에 도달하며, 최고 높이는 20m입니다.

예제 2: 직사각형의 최대 넓이

문제: 길이가 20m인 철사로 직사각형의 울타리를 만들려고 합니다. 한 변의 길이를 $x$m라고 할 때, 직사각형의 최대 넓이를 구하세요.

풀이:

• 직사각형의 둘레는 20m이므로, 다른 변의 길이는 $10 - x$m입니다.
• 직사각형의 넓이 $A(x)$는 다음과 같이 표현됩니다:

$$A(x) = x(10 - x) = -x^2 + 10x.$$

넓이가 최대가 되는 $x$는 $x = -\frac{b}{2a}$로 구합니다. 여기서 $a = -1$, $b = 10$이므로:

$$x = -\frac{10}{2(-1)} = 5 \, \text{(m)}.$$

최대 넓이는 $x = 5$를 $A(x)$에 대입하여 계산합니다:

$$A(5) = -5^2 + 10(5) = -25 + 50 = 25 \, \text{(㎡)}.$$

따라서 직사각형의 최대 넓이는 25㎡입니다.

예제 3: 제품 가격 최적화

문제: 한 가게에서 제품의 가격을 $x$원으로 설정했을 때, 하루 판매량 $y$는 다음과 같이 나타납니다:

$$y = 100 - 2x.$$

총 매출액 $R(x)$를 최대화하기 위한 $x$를 구하고, 그때의 매출액을 계산하세요.

풀이:

• 총 매출액 $R(x)$는 제품 가격과 판매량의 곱으로 표현됩니다:

$$R(x) = x(100 - 2x) = -2x^2 + 100x.$$

최대 매출을 얻는 $x$는 $x = -\frac{b}{2a}$로 구합니다. 여기서 $a = -2$, $b = 100$이므로:

$$x = -\frac{100}{2(-2)} = 25 \, \text{(원)}.$$

최대 매출액은 $x = 25$를 $R(x)$에 대입하여 계산합니다:

$$R(25) = -2(25)^2 + 100(25) = -1250 + 2500 = 1250 \, \text{(원)}.$$

따라서 제품 가격을 25원으로 설정했을 때 최대 매출액은 1250원이 됩니다.

결론

이차함수는 물체의 운동, 넓이의 최적화, 매출 분석 등 다양한 실생활 문제를 해결하는 데 유용합니다. 꼭짓점 공식을 활용하면 문제를 효과적으로 풀 수 있으며, 이를 통해 최적의 결과를 얻을 수 있습니다.

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