무리함수 미분 활용 예제 문제 3가지

무리함수의 미분은 곡선의 기울기 계산, 접선의 방정식 구하기, 함수의 극값 및 변곡점 분석 등에서 유용합니다. 이번 글에서는 무리함수 미분의 활용 문제와 그 풀이를 3가지 소개하겠습니다.

예제 1: 특정 점에서의 기울기 구하기

문제: 함수 $f(x) = \sqrt{x}$에서 $x = 4$일 때의 기울기를 구하세요.

풀이:

1. $f(x) = \sqrt{x}$의 미분을 구합니다:

$$ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}. $$

2. $x = 4$일 때의 기울기를 계산합니다:

$$ f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}. $$

따라서 $x = 4$에서의 기울기는 $\frac{1}{4}$입니다.

예제 2: 접선의 방정식 구하기

문제: 함수 $g(x) = \sqrt{x+1}$에서 $x = 3$에서의 접선의 방정식을 구하세요.

풀이:

1. $g(x) = \sqrt{x+1}$의 미분을 구합니다:

$$ g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}. $$

2. $x = 3$에서의 기울기를 계산합니다:

$$ g'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3+1}} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}. $$

3. $g(x)$에서 $x = 3$일 때 $y$ 값을 구합니다:

$$ g(3) = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2. $$

4. 접선의 방정식은 기울기-점 방정식을 사용합니다:

$$ y - y_1 = m(x - x_1), $$

여기서 $m = \frac{1}{4}$, $(x_1, y_1) = (3, 2)$이므로:

$$ y - 2 = \frac{1}{4}(x - 3). $$

이를 정리하면:

$$ y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}. $$

따라서 접선의 방정식은 $y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$입니다.

예제 3: 극값 찾기

문제: 함수 $h(x) = x\sqrt{x}$의 극값을 구하세요.

풀이:

1. $h(x) = x\sqrt{x}$를 미분합니다. 곱셈의 미분공식을 사용합니다:

$$ h'(x) = \frac{d}{dx}(x \cdot x^{1/2}) = 1 \cdot x^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = \sqrt{x} + \frac{x}{2\sqrt{x}}. $$

2. 분수 형태를 정리하면:

$$ h'(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{2}\sqrt{x} = \frac{3}{2}\sqrt{x}. $$

3. $h'(x) = 0$이 되는 $x$를 구합니다:

$$ \frac{3}{2}\sqrt{x} = 0 \implies x = 0. $$

4. $x = 0$은 극값 후보지만, 함수 정의에서 $x > 0$만 유효하므로 극값은 없습니다. $h(x)$는 $x > 0$에서 단조 증가합니다.

결론

무리함수의 미분은 특정 점에서의 기울기, 접선의 방정식, 함수의 극값 및 성질 분석 등 다양한 문제를 해결하는 데 활용됩니다. 위의 예제를 통해 무리함수 미분의 기본 원리와 실질적 응용을 익힐 수 있습니다.

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