함수의 극한 활용 문제 예제 3가지

함수의 극한은 함수의 연속성, 수렴 여부, 무한대에서의 거동 등을 분석하는 데 중요한 역할을 합니다. 이번 글에서는 함수의 극한을 활용한 문제와 풀이를 3가지 소개하겠습니다.

예제 1: 극한의 기본 계산

문제: 함수 $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x^2 + x - 2}$에서 $x \to 1$일 때의 극한을 계산하세요.

풀이:

1. $f(x)$를 대입해 분모와 분자를 확인합니다:

$$ f(1) = \frac{2(1)^2 - 3(1) + 1}{(1)^2 + 1 - 2} = \frac{0}{0}. $$

0/0의 형태이므로 식을 인수분해하여 극한을 계산합니다.

2. 분자와 분모를 인수분해합니다:

$$ f(x) = \frac{(2x - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)}. $$

3. $x \neq 1$에서 $x - 1$이 약분됩니다:

$$ f(x) = \frac{2x - 1}{x + 2}. $$

4. $x \to 1$을 대입하여 극한을 계산합니다:

$$ \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{2(1) - 1}{1 + 2} = \frac{1}{3}. $$

따라서 극한 값은 $\frac{1}{3}$입니다.

예제 2: 무한대에서의 극한

문제: 함수 $g(x) = \frac{3x^2 + 5x - 7}{x^2 - 4x + 6}$에서 $x \to \infty$일 때의 극한을 계산하세요.

풀이:

1. $x^2$가 가장 높은 차수이므로 분모와 분자의 $x^2$로 나눕니다:

$$ g(x) = \frac{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{5x}{x^2} - \frac{7}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{4x}{x^2} + \frac{6}{x^2}} = \frac{3 + \frac{5}{x} - \frac{7}{x^2}}{1 - \frac{4}{x} + \frac{6}{x^2}}. $$

2. $x \to \infty$일 때, $\frac{1}{x} \to 0$이므로:

$$ \lim_{x \to \infty} g(x) = \frac{3 + 0 - 0}{1 - 0 + 0} = \frac{3}{1} = 3. $$

따라서 극한 값은 $3$입니다.

예제 3: 극한과 연속성

문제: 함수 $h(x)$가 다음과 같이 정의됩니다:

$$ h(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2}, & x \neq 2, \\ 3, & x = 2. \end{cases} $$

이 함수가 $x = 2$에서 연속인지 확인하세요.

풀이:

1. $x \neq 2$일 때 $h(x)$를 간단히 정리합니다:

분자를 인수분해하면:

$$ h(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}. $$

$x \neq 2$에서 $x - 2$를 약분하면:

$$ h(x) = x + 2 \quad (x \neq 2). $$

2. $x \to 2$일 때의 극한을 계산합니다:

$$ \lim_{x \to 2} h(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4. $$

3. $x = 2$에서의 함수 값을 확인합니다:

$$ h(2) = 3. $$

4. $h(x)$는 $x = 2$에서 극한값 $\lim_{x \to 2} h(x) = 4$와 함수값 $h(2) = 3$이 다르므로 $h(x)$는 $x = 2$에서 연속하지 않습니다.

결론

함수의 극한은 다항식, 유리식, 무한대에서의 거동 분석 및 연속성 확인과 같은 다양한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 함수 극한의 기본 원리와 활용법을 익힐 수 있습니다.

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