무리함수 적분 활용 예제 문제 4가지

무리함수의 적분은 면적 계산, 평균값 구하기, 물리적 문제 해결 등 다양한 응용에서 활용됩니다. 이번 글에서는 무리함수 적분의 활용 문제와 풀이를 4가지 소개하겠습니다.

예제 1: 기본 무리함수의 정적분

문제: 함수 $f(x) = \sqrt{x}$를 $x = 0$에서 $x = 4$까지 정적분하여 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. $\sqrt{x}$의 부정적분은 다음과 같습니다:

$$ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C. $$

2. $x = 0$에서 $x = 4$까지 정적분합니다:

$$ \int_0^4 \sqrt{x} \, dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4. $$

3. 계산하면:

$$ \frac{2}{3}(4)^{3/2} - \frac{2}{3}(0)^{3/2} = \frac{2}{3}(8) - 0 = \frac{16}{3}. $$

따라서 곡선 아래의 면적은 $\frac{16}{3}$입니다.

예제 2: 평균값 계산

문제: 함수 $g(x) = \sqrt{x+1}$의 평균값을 $x = 0$에서 $x = 3$까지 구하세요.

풀이:

1. 평균값 공식은 다음과 같습니다:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx. $$

2. $g(x) = \sqrt{x+1}$의 부정적분을 구합니다:

$$ \int \sqrt{x+1} \, dx = \int (x+1)^{1/2} \, dx = \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C. $$

3. $x = 0$에서 $x = 3$까지 정적분합니다:

$$ \int_0^3 \sqrt{x+1} \, dx = \left[\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}\right]_0^3. $$

4. 계산하면:

$$ \frac{2}{3}(3+1)^{3/2} - \frac{2}{3}(0+1)^{3/2} = \frac{2}{3}(8) - \frac{2}{3}(1) = \frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}. $$

5. 평균값은:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{3-0} \cdot \frac{14}{3} = \frac{14}{9}. $$

따라서 평균값은 $\frac{14}{9}$입니다.

예제 3: 복잡한 무리함수의 적분

문제: 함수 $h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$을 $x = 0$에서 $x = 1$까지 정적분하세요.

풀이:

1. 적분식을 설정합니다. 치환 $u = x+1$을 사용합니다:

$$ u = x+1 \implies du = dx, \quad x = u-1. $$

2. 적분식을 변환합니다:

$$ \int_0^1 \frac{\sqrt{x}}{x+1} \, dx = \int_1^2 \frac{\sqrt{u-1}}{u} \, du. $$

3. 적분은 표준 형태로 해결하거나 수치적으로 계산하여 근사값을 구합니다.

예제 4: 곡선 아래의 면적 계산

문제: 함수 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$의 $x = 1$에서 $x = 4$까지 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$의 부정적분은 다음과 같습니다:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int x^{-1/2} \, dx = 2x^{1/2} + C. $$

2. $x = 1$에서 $x = 4$까지 정적분합니다:

$$ \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \left[2x^{1/2}\right]_1^4. $$

3. 계산하면:

$$ 2(4)^{1/2} - 2(1)^{1/2} = 2(2) - 2(1) = 4 - 2 = 2. $$

따라서 곡선 아래의 면적은 $2$입니다.

결론

무리함수의 적분은 면적 계산, 평균값 구하기, 복잡한 함수의 해석 등에서 활용됩니다. 위의 예제를 통해 무리함수 적분의 원리와 응용 사례를 이해할 수 있습니다.

실생활 속 수학 사례와 예시 10가지