유리함수 적분 활용 예제 문제 4가지

유리함수의 적분은 곡선 아래의 면적 계산, 평균값 구하기, 복잡한 함수의 누적 변화 계산 등 다양한 문제에서 활용됩니다. 이번 글에서는 유리함수 적분의 활용 문제와 그 풀이를 4가지 소개하겠습니다.

예제 1: 기본 유리함수의 정적분

문제: 함수 $f(x) = \frac{1}{x}$를 $x = 1$에서 $x = 2$까지 정적분하여 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. $\frac{1}{x}$의 부정적분은 다음과 같습니다:

$$ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C. $$

2. $x = 1$에서 $x = 2$까지 정적분합니다:

$$ \int_1^2 \frac{1}{x} \, dx = \left[\ln |x|\right]_1^2. $$

3. 계산하면:

$$ \ln |2| - \ln |1| = \ln 2 - 0 = \ln 2. $$

따라서 곡선 아래의 면적은 $\ln 2$입니다.

예제 2: 평균값 계산

문제: 함수 $g(x) = \frac{1}{x+1}$의 평균값을 $x = 0$에서 $x = 3$까지 구하세요.

풀이:

1. 평균값 공식은 다음과 같습니다:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx. $$

2. $g(x) = \frac{1}{x+1}$의 부정적분은 다음과 같습니다:

$$ \int \frac{1}{x+1} \, dx = \ln |x+1| + C. $$

3. $x = 0$에서 $x = 3$까지 정적분합니다:

$$ \int_0^3 \frac{1}{x+1} \, dx = \left[\ln |x+1|\right]_0^3 = \ln(3+1) - \ln(0+1). $$

4. 계산하면:

$$ \ln 4 - \ln 1 = \ln 4 - 0 = \ln 4. $$

5. 평균값은:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{3-0} \cdot \ln 4 = \frac{\ln 4}{3}. $$

따라서 평균값은 $\frac{\ln 4}{3}$입니다.

예제 3: 복잡한 유리함수의 적분

문제: 함수 $h(x) = \frac{x}{x^2+1}$를 $x = 0$에서 $x = 1$까지 정적분하세요.

풀이:

1. $h(x) = \frac{x}{x^2+1}$의 부정적분은 다음과 같습니다:

$$ \int \frac{x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C. $$

2. $x = 0$에서 $x = 1$까지 정적분합니다:

$$ \int_0^1 \frac{x}{x^2+1} \, dx = \left[\frac{1}{2} \ln(x^2 + 1)\right]_0^1. $$

3. 계산하면:

$$ \frac{1}{2} \ln(1^2 + 1) - \frac{1}{2} \ln(0^2 + 1) = \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 1. $$

4. $\ln 1 = 0$이므로:

$$ \frac{1}{2} \ln 2. $$

따라서 정적분 값은 $\frac{1}{2} \ln 2$입니다.

예제 4: 유리함수의 면적 계산

문제: 함수 $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$의 $x = -1$에서 $x = 1$까지 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. $f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$의 부정적분은 다음과 같습니다:

$$ \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \arctan x + C. $$

2. $x = -1$에서 $x = 1$까지 정적분합니다:

$$ \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \left[\arctan x\right]_{-1}^1. $$

3. 계산하면:

$$ \arctan(1) - \arctan(-1). $$

4. $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$, $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$이므로:

$$ \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}. $$

따라서 곡선 아래의 면적은 $\frac{\pi}{2}$입니다.

결론

유리함수의 적분은 곡선 아래의 면적 계산, 평균값 구하기, 복잡한 함수의 적분 분석 등에서 유용합니다. 위의 예제를 통해 유리함수 적분의 다양한 활용 사례를 익힐 수 있습니다.

실생활 속 수학 사례와 예시 10가지