로그함수의 적분은 면적 계산, 평균값 구하기, 복잡한 함수의 누적 변화 계산 등 다양한 수학적 및 실질적 문제에서 활용됩니다. 이번 글에서는 로그함수 적분의 활용 문제와 그 풀이를 4가지 소개하겠습니다.

예제 1: 기본 로그함수의 정적분
문제: 함수 f(x)=lnxf(x)=lnx를 x=1x=1에서 x=ex=e까지 정적분하여 곡선 아래의 면적을 구하세요.
풀이:
1. lnxlnx의 부정적분은 다음과 같습니다:
∫lnxdx=xlnx−x+C.∫lnxdx=xlnx−x+C.
2. x=1x=1에서 x=ex=e까지 정적분합니다:
∫e1lnxdx=[xlnx−x]e1.∫e1lnxdx=[xlnx−x]e1.
3. 계산하면:
[elne−e]−[1ln1−1]=(e⋅1−e)−(0−1)=e−e+1=1.[elne−e]−[1ln1−1]=(e⋅1−e)−(0−1)=e−e+1=1.
따라서 곡선 아래의 면적은 11입니다.
예제 2: 평균값 계산
문제: 함수 g(x)=lnxg(x)=lnx의 평균값을 x=1x=1에서 x=4x=4까지 구하세요.
풀이:
1. 평균값 공식은 다음과 같습니다:
평균값=1b−a∫baf(x)dx.
2. lnx의 부정적분을 사용하여 정적분을 계산합니다:
∫41lnxdx=[xlnx−x]41.
3. 계산하면:
[4ln4−4]−[1ln1−1]=(4⋅ln4−4)−(0−1)=4ln4−3.
4. 평균값은:
평균값=14−1⋅(4ln4−3)=4ln4−33.
따라서 평균값은 4ln4−33입니다.
예제 3: 복잡한 함수의 정적분
문제: 함수 h(x)=xlnx를 x=1에서 x=2까지 정적분하세요.
풀이:
1. xlnx의 적분에는 부분 적분을 사용합니다. 다음과 같이 설정합니다:
u=lnx,dv=xdx⟹du=1xdx,v=x22.
2. 부분 적분 공식을 적용합니다:
∫xlnxdx=x22lnx−∫x22⋅1xdx=x22lnx−x24+C.
3. x=1에서 x=2까지 정적분합니다:
∫21xlnxdx=[x22lnx−x24]21.
4. 계산하면:
[222ln2−224]−[122ln1−124]=[2ln2−1]−[0−14].
최종 계산 결과:
2ln2−1+14=2ln2−34.
따라서 정적분 값은 2ln2−34입니다.
예제 4: 로그 함수의 누적 변화
문제: 함수 f(x)=ln(2x+1)의 x=0에서 x=3까지의 누적 변화를 구하세요.
풀이:
1. ln(2x+1)의 부정적분은 다음과 같습니다 (체인룰 사용):
∫ln(2x+1)dx=∫12x+1⋅2dx=12∫1udu=12ln|u|+C=12ln(2x+1)+C.
2. x=0에서 x=3까지 정적분합니다:
∫30ln(2x+1)dx=[12ln(2x+1)]30.
3. 계산하면:
12ln(2⋅3+1)−12ln(2⋅0+1)=12ln7−12ln1.
4. ln1=0이므로:
12ln7.
따라서 누적 변화는 12ln7입니다.
결론
로그함수의 적분은 면적 계산, 평균값 구하기, 복잡한 함수의 누적 변화 등을 해결하는 데 활용됩니다. 위의 예제를 통해 로그함수 적분의 원리와 다양한 응용 사례를 이해할 수 있습니다.
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