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수학

로그함수 적분 활용 예제 문제 4가지

by 여행과 수학 2024. 12. 22.
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로그함수의 적분은 면적 계산, 평균값 구하기, 복잡한 함수의 누적 변화 계산 등 다양한 수학적 및 실질적 문제에서 활용됩니다. 이번 글에서는 로그함수 적분의 활용 문제와 그 풀이를 4가지 소개하겠습니다.

로그함수 적분 활용

예제 1: 기본 로그함수의 정적분

문제: 함수 f(x)=lnxf(x)=lnxx=1x=1에서 x=ex=e까지 정적분하여 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. lnxlnx의 부정적분은 다음과 같습니다:

lnxdx=xlnxx+C.lnxdx=xlnxx+C.

2. x=1x=1에서 x=ex=e까지 정적분합니다:

e1lnxdx=[xlnxx]e1.e1lnxdx=[xlnxx]e1.

3. 계산하면:

[elnee][1ln11]=(e1e)(01)=ee+1=1.[elnee][1ln11]=(e1e)(01)=ee+1=1.

따라서 곡선 아래의 면적은 11입니다.

예제 2: 평균값 계산

문제: 함수 g(x)=lnxg(x)=lnx의 평균값을 x=1x=1에서 x=4x=4까지 구하세요.

풀이:

1. 평균값 공식은 다음과 같습니다:

평균값=1babaf(x)dx.

2. lnx의 부정적분을 사용하여 정적분을 계산합니다:

41lnxdx=[xlnxx]41.

3. 계산하면:

[4ln44][1ln11]=(4ln44)(01)=4ln43.

4. 평균값은:

평균값=141(4ln43)=4ln433.

따라서 평균값은 4ln433입니다.

예제 3: 복잡한 함수의 정적분

문제: 함수 h(x)=xlnxx=1에서 x=2까지 정적분하세요.

풀이:

1. xlnx의 적분에는 부분 적분을 사용합니다. 다음과 같이 설정합니다:

u=lnx,dv=xdxdu=1xdx,v=x22.

2. 부분 적분 공식을 적용합니다:

xlnxdx=x22lnxx221xdx=x22lnxx24+C.

3. x=1에서 x=2까지 정적분합니다:

21xlnxdx=[x22lnxx24]21.

4. 계산하면:

[222ln2224][122ln1124]=[2ln21][014].

최종 계산 결과:

2ln21+14=2ln234.

따라서 정적분 값은 2ln234입니다.

예제 4: 로그 함수의 누적 변화

문제: 함수 f(x)=ln(2x+1)x=0에서 x=3까지의 누적 변화를 구하세요.

풀이:

1. ln(2x+1)의 부정적분은 다음과 같습니다 (체인룰 사용):

ln(2x+1)dx=12x+12dx=121udu=12ln|u|+C=12ln(2x+1)+C.

2. x=0에서 x=3까지 정적분합니다:

30ln(2x+1)dx=[12ln(2x+1)]30.

3. 계산하면:

12ln(23+1)12ln(20+1)=12ln712ln1.

4. ln1=0이므로:

12ln7.

따라서 누적 변화는 12ln7입니다.

결론

로그함수의 적분은 면적 계산, 평균값 구하기, 복잡한 함수의 누적 변화 등을 해결하는 데 활용됩니다. 위의 예제를 통해 로그함수 적분의 원리와 다양한 응용 사례를 이해할 수 있습니다.

 

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