로그함수 적분 활용 예제 문제 4가지

로그함수의 적분은 면적 계산, 평균값 구하기, 복잡한 함수의 누적 변화 계산 등 다양한 수학적 및 실질적 문제에서 활용됩니다. 이번 글에서는 로그함수 적분의 활용 문제와 그 풀이를 4가지 소개하겠습니다.

예제 1: 기본 로그함수의 정적분

문제: 함수 $f(x) = \ln x$를 $x = 1$에서 $x = e$까지 정적분하여 곡선 아래의 면적을 구하세요.

풀이:

1. $\ln x$의 부정적분은 다음과 같습니다:

$$ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + C. $$

2. $x = 1$에서 $x = e$까지 정적분합니다:

$$ \int_1^e \ln x \, dx = \left[x \ln x - x\right]_1^e. $$

3. 계산하면:

$$ \left[e \ln e - e\right] - \left[1 \ln 1 - 1\right] = (e \cdot 1 - e) - (0 - 1) = e - e + 1 = 1. $$

따라서 곡선 아래의 면적은 $1$입니다.

예제 2: 평균값 계산

문제: 함수 $g(x) = \ln x$의 평균값을 $x = 1$에서 $x = 4$까지 구하세요.

풀이:

1. 평균값 공식은 다음과 같습니다:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx. $$

2. $\ln x$의 부정적분을 사용하여 정적분을 계산합니다:

$$ \int_1^4 \ln x \, dx = \left[x \ln x - x\right]_1^4. $$

3. 계산하면:

$$ \left[4 \ln 4 - 4\right] - \left[1 \ln 1 - 1\right] = (4 \cdot \ln 4 - 4) - (0 - 1) = 4 \ln 4 - 3. $$

4. 평균값은:

$$ \text{평균값} = \frac{1}{4-1} \cdot (4 \ln 4 - 3) = \frac{4 \ln 4 - 3}{3}. $$

따라서 평균값은 $\frac{4 \ln 4 - 3}{3}$입니다.

예제 3: 복잡한 함수의 정적분

문제: 함수 $h(x) = x \ln x$를 $x = 1$에서 $x = 2$까지 정적분하세요.

풀이:

1. $x \ln x$의 적분에는 부분 적분을 사용합니다. 다음과 같이 설정합니다:

$$ u = \ln x, \quad dv = x \, dx \implies du = \frac{1}{x} \, dx, \quad v = \frac{x^2}{2}. $$

2. 부분 적분 공식을 적용합니다:

$$ \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C. $$

3. $x = 1$에서 $x = 2$까지 정적분합니다:

$$ \int_1^2 x \ln x \, dx = \left[\frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4}\right]_1^2. $$

4. 계산하면:

$$ \left[\frac{2^2}{2} \ln 2 - \frac{2^2}{4}\right] - \left[\frac{1^2}{2} \ln 1 - \frac{1^2}{4}\right] = \left[2 \ln 2 - 1\right] - \left[0 - \frac{1}{4}\right]. $$

최종 계산 결과:

$$ 2 \ln 2 - 1 + \frac{1}{4} = 2 \ln 2 - \frac{3}{4}. $$

따라서 정적분 값은 $2 \ln 2 - \frac{3}{4}$입니다.

예제 4: 로그 함수의 누적 변화

문제: 함수 $f(x) = \ln(2x + 1)$의 $x = 0$에서 $x = 3$까지의 누적 변화를 구하세요.

풀이:

1. $\ln(2x + 1)$의 부정적분은 다음과 같습니다 (체인룰 사용):

$$ \int \ln(2x + 1) \, dx = \int \frac{1}{2x + 1} \cdot 2 \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln(2x + 1) + C. $$

2. $x = 0$에서 $x = 3$까지 정적분합니다:

$$ \int_0^3 \ln(2x + 1) \, dx = \left[\frac{1}{2} \ln(2x + 1)\right]_0^3. $$

3. 계산하면:

$$ \frac{1}{2} \ln(2 \cdot 3 + 1) - \frac{1}{2} \ln(2 \cdot 0 + 1) = \frac{1}{2} \ln 7 - \frac{1}{2} \ln 1. $$

4. $\ln 1 = 0$이므로:

$$ \frac{1}{2} \ln 7. $$

따라서 누적 변화는 $\frac{1}{2} \ln 7$입니다.

결론

로그함수의 적분은 면적 계산, 평균값 구하기, 복잡한 함수의 누적 변화 등을 해결하는 데 활용됩니다. 위의 예제를 통해 로그함수 적분의 원리와 다양한 응용 사례를 이해할 수 있습니다.

실생활 속 수학 사례와 예시 10가지