유리함수 미분 활용 문제 예제 3가지

유리함수의 미분은 곡선의 기울기 계산, 접선의 방정식 구하기, 그리고 극값과 변곡점 찾기 등에서 중요한 역할을 합니다. 이번 글에서는 유리함수 미분을 활용한 예제 문제와 풀이를 3가지 소개하겠습니다.

예제 1: 특정 점에서의 기울기 구하기

문제: 함수 $f(x) = \frac{1}{x}$에서 $x = 2$일 때의 기울기를 구하세요.

풀이:

1. $f(x) = \frac{1}{x}$의 미분을 구합니다:

$$f'(x) = -\frac{1}{x^2}.$$

2. $x = 2$일 때의 기울기를 계산합니다:

$$f'(2) = -\frac{1}{2^2} = -\frac{1}{4}.$$

따라서 $x = 2$에서의 기울기는 $-\frac{1}{4}$입니다.

예제 2: 접선의 방정식 구하기

문제: 함수 $g(x) = \frac{2}{x+1}$에서 $x = 1$에서의 접선의 방정식을 구하세요.

풀이:

1. $g(x) = \frac{2}{x+1}$의 미분을 구합니다:

$$g'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x+1}\right) = -\frac{2}{(x+1)^2}.$$

2. $x = 1$에서의 기울기를 계산합니다:

$$g'(1) = -\frac{2}{(1+1)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}.$$

3. $g(x)$에서 $x = 1$일 때 $y$ 값을 구합니다:

$$g(1) = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1.$$

4. 접선의 방정식은 기울기-점 방정식을 사용합니다:

$$y - y_1 = m(x - x_1),$$

여기서 $m = -\frac{1}{2}$, $(x_1, y_1) = (1, 1)$이므로:

$$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1).$$

이를 정리하면:

$$y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}.$$

따라서 접선의 방정식은 $y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$입니다.

예제 3: 극값 찾기

문제: 함수 $h(x) = \frac{x}{x+1}$의 극값을 구하세요.

풀이:

1. $h(x)$의 미분을 구합니다. 곱셈-나눗셈의 미분 공식을 사용합니다:

$$h'(x) = \frac{(x+1) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{x+1 - x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2}.$$

2. $h'(x) = 0$을 풀어 극값을 찾습니다:

$$\frac{1}{(x+1)^2} = 0.$$

분모는 $0$이 될 수 없으므로, $h'(x) = 0$인 값이 없습니다. 따라서 $h(x)$는 극값이 없습니다.

3. 추가적으로 $h(x)$의 성질을 분석하면, 함수는 $x \to -1$에서 정의되지 않으며, 증가 또는 감소하는 경향만을 가집니다.

결론

유리함수의 미분은 기울기 계산, 접선 방정식 구하기, 그리고 극값 및 함수의 성질을 분석하는 데 유용합니다. 위의 예제를 통해 유리함수 미분의 기본 원리와 활용법을 이해할 수 있습니다.

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