드 무와브르 정리 알아보기

드 무와브르 정리는 삼각함수의 배각공식 증명에 자주 활용되지만, 오일러 공식과 연결되어 자주 이용되는 정리이다. 드 무와브르 정리를 알아보자.

 

<드 무와브르 정리>

임의의 정수 $n$에 대해서 복소수 $z=re^{i \theta}$ 의 거듭제곱을 나타내면

$z^n = r^n (e^{i \theta})^n=r^ne^{in \theta }$ 이다.

 

오일러 정리로 복소수를 표현하면 $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$이므로

$z^n = r^n(\cos n \theta + i \sin n \theta)$ 이다.

 

드 무아브르 정리 증명하기

단위복소수는 $e^{i \theta_1} e^{i \theta_2} = e^{i (\theta_1 + \theta_2)}$ 가 성립하므로

수학적 귀납법에 의해 $n$개의 단위 복소수의 곱을 계산하면,

$e^{i \theta_1}e^{i \theta_2} \cdots e^{i \theta_n} = e^{i(\theta_1 + \theta_2 + \cdots + \theta_n)}$ 이다.

이때 $\theta_1 = \theta_2 = \cdots = \theta_n = \theta$라 하면 $(e^{i \theta})^n = e^{in \theta}$ 가 성립한다.

 

또한 $1=(e^{i\theta})^n(e^{i \theta})^{-n} = e^{in \theta} (e^{i \theta})^{-n}$이므로 $(e^{i\theta})^{-n} = e^{-in \theta}$ 이다.

 

따라서 정수 $n$에 대해 $(e^{i \theta})^n = e^{in\theta}$가 성립한다.

 

드 무와브르 정리를 이용하면 삼각함수의 n배각 공식을 쉽게 구할 수 있다.

$(\cos \theta + i \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta + 2i \cos \theta \sin \theta - \sin^2 \theta$ 이고

드 무와브르 정리에 의해 $(\cos \theta + i \sin \theta )^2 = \cos 2 \theta + i \sin 2 \theta$이므로 실수부분과 허수부분을 비교하면,

$\cos 2 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

$\sin 2 \theta = 2\cos \theta \sin \theta$ 이다.

 

이렇게 삼각함수의 배각공식을 구할 수 있다.

 

드 무와브르 정리 이외의 삼각함수 n배각 공식을 구하는 팁을 알고 싶다면, 다음 영상을 참고하자!

삼각함수 n배각 공식 찾는 방법