소수 사이의 간격을 알 수 있는 소수정리

소수는 무한히 많이 존재함을 알고 있다. 그렇다면, 이 소수는 어떻게 분포되어 있을까?

숫자가 커지면 커질수록 소수가 나오는 빈도수는 대채적으로 로그함수에 반비례하는 관계를 보이는데

이를 소수정리(Prime Number Theorem)라 한다.

 

소수정리

1과 $N$ 사이에 있는 소수의 개수는 대략 $\frac{N}{\ln N}$ 개 이다.

 

실제 맞는지 대략적으로 확인하기

예를 들어 1과 10 사이에 있는 소수는 2, 3, 5, 7 이다. 총 4개이고, 이를 소수정리를 이용해 계산하면,

$\frac{10}{\ln N} = \frac{10}{2.302 \cdots}=4342 \cdots$ 이다.

 

차이는 거의 없다.

 

1에서 100 사이에 있는 소수는

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97(총 25개) 이고

이를 소수정리를 이용해 계산해보면,

$\frac{100}{\ln 100} = \frac{100}{4.605\cdots} = 21.714 \cdots$ 이다.

 

차이는 4개 정도 난다.

 

1에서 1000 사이에 있는 소수는 168개이고,

$\frac{1000}{\ln 1000} = \frac{1000}{6.907 \cdots} = 144.764\cdots$ 이다.

 

차이는 24개 정도 난다.

 

이를 통해 어떤 숫자 사이에 존재하는 소수의 대략적인 개수를 알 수 있다. 물론 정확하게 확인할 수는 없지만 대략적인 개수를 추측하기 위한 가장 간단한 방법으로 소수정리가 사용된다.

 

소수의 개수가 무한개인 이유 증명