메넬라우스 정리 알아보기

메넬라우스 정리란?

메넬라우스 정리

삼각형 $\rm ABC$에서 선분 $\rm BC$의 연장선을 긋고 $\rm F$점에서 선분 $\rm AB$에 선분을 그을 때,

 

$\frac{\overline{\rm DB}}{\overline{\rm AD}} \times \frac{\overline{\rm FC}}{\overline{\rm BF}} \times \frac{\overline{\rm CE}}{\overline{\rm EA}} = 1$이다.

 

위 분수 곱셈에서 곱하는 순서는 아래와 같다.

곱하는 순서(분모 -> 분자 순)

 

증명하기

메넬라우스 정리 증명

점 $\rm C$를 지나고 선분 $\rm DF$에 평행한 직선을 그을 때, 선분 $\rm AB$와 만나는 점을 $\rm G$라 하자.

 

$\overline{\rm AD} : \overline{\rm DG} = \overline{\rm AE} : \overline{\rm EC}$이므로 $\frac{\overline{\rm DG}}{\overline{\rm AD}} = \frac{\overline{\rm EC}}{\overline{\rm AE}}$-(1) 이다.

 

$\overline{\rm BD} : \overline{\rm DG} = \overline{\rm BF} : \overline{\rm CF}$ 이므로 $\frac{\overline{\rm DG}}{\overline{\rm BD}} = \frac{\overline{\rm CF}}{\overline{\rm BF}}$-(2) 이다.

 

따라서 (1), (2)를 아래식에 대입하면,

 

$\frac{\overline{\rm DB}}{\overline{\rm AD}} \times \frac{\overline{\rm FC}}{\overline{\rm BF}} \times \frac{\overline{\rm EA}}{\overline{\rm CE}}$ $=\frac{\overline{\rm DB}}{\overline{\rm AD}} \times \frac{\overline{\rm DG}}{\overline{\rm BD}} \times \frac{\overline{\rm AD}}{\overline{\rm DG}} = 1$