체바의 정리 알아보기

체바의 정리

체바의 정리

삼각형 $\rm ABC$에서 직선 $\rm BC$, $\rm CA$, $\rm AB$의 어느 위에 있지 않은 한 점 $\rm O$와 $\rm A, B, C$를 이은 직선이 각각 $\rm BC$, $\rm CA$, $\rm AB$에서 만나는 점을 각각 $\rm D, E, F$ 라 할 때,

 

$\frac{\overline{\rm FB}}{\overline{\rm AF}} \times \frac{\overline{\rm DC}}{\overline{\rm BD}} \times \frac{\overline{\rm EA}}{\overline{\rm CE}}=1$ 이 성립한다.

 

증명1. 메넬라오스 정리를 이용

메넬라오스 정리 증명

$\frac{\overline{\rm FB}}{\overline{\rm AF}} \times \frac{\overline{\rm CD}}{\overline{\rm BC}} \times \frac{\overline{\rm OA}}{\overline{\rm DO}}=1$

$\Rightarrow$ $\frac{\overline{\rm DO}}{\overline{\rm OA}} = \frac{\overline{\rm FB}}{\overline{\rm AF}} \times \frac{\overline{\rm CD}}{\overline{\rm BC}}$ 이다. - (1)

 

또한, $\frac{\overline{\rm EC}}{\overline{\rm AE}} \times \frac{\overline{\rm BD}}{\overline{\rm CB}} \times \frac{\overline{\rm OA}}{\overline{\rm DO}}=1$

$\Rightarrow$ $\frac{\overline{\rm OA}}{\overline{\rm DO}} = \frac{\overline{\rm AE}}{\overline{\rm EC}} \times \frac{\overline{\rm CB}}{\overline{\rm BD}}$ 이다. -(2)

 

이때 (1), (2) 식을 서로 곱하면,

$\frac{\overline{\rm FB}}{\overline{\rm AF}} \times \frac{\overline{\rm DC}}{\overline{\rm BD}} \times \frac{\overline{\rm EA}}{\overline{\rm CD}}=1$이다.

 

증명2. 삼각형의 넓이를 이용

$\bigtriangleup \rm AOC$와 $\bigtriangleup\rm BOC$의 넓이의 비는 $\overline{\rm AF}$와 $\overline{\rm BF}$의 길이의 비가 같다.

따라서 $\frac{\overline{\rm FB}}{\overline{\rm AD}} = \frac{\bigtriangleup \rm BOC}{\bigtriangleup \rm AOC}$이다.

또한 $\bigtriangleup \rm AOB$와 $\bigtriangleup \rm AOC$의 넓이의 비는 $\overline{\rm BD}$와 $\overline{\rm DC}$의 길이의 비와 같다.

따라서 $\frac{\overline{\rm DC}}{\overline{\rm BD}} = \frac{\bigtriangleup \rm AOC}{\bigtriangleup \rm AOB}$이다.

마지막으로 $\bigtriangleup \rm BOC$와 $\bigtriangleup \rm AOB$의 넓이의 비는 $\overline{\rm CE}$와 $\overline{\rm EA}$의 길이의 비와 같다.

따라서 $\frac{\overline{\rm EA}}{\overline{\rm CE}} = \frac{\bigtriangleup \rm AOB}{\bigtriangleup \rm BOC}$이다.

 

위 세 식을 모두 곱하면,

$\frac{\overline{\rm FB}}{\overline{\rm AF}} \times \frac{\overline{\rm DC}}{\overline{\rm BD}} \times \frac{\overline{\rm EA}}{\overline{\rm CE}}$ $= \frac{\bigtriangleup \rm BOC}{\bigtriangleup \rm AOC} \times \frac{\bigtriangleup \rm AOC}{\bigtriangleup \rm AOB} \times \frac{\bigtriangleup \rm AOB}{\bigtriangleup \rm BOC} = 1$ 을 만족한다.

 

<메넬라우스 정리와 체바의 정리>

메넬라우스 정리와 체바의 정리