다항식의 계산 활용 문제 예제 3가지

다항식의 계산은 다항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 기본 연산을 통해 복잡한 문제를 해결하는 데 유용합니다. 이번 글에서는 다항식 계산의 기본 원리를 활용한 문제와 그 풀이 예제 3가지를 소개하겠습니다.

예제 1: 다항식의 덧셈

문제: 다음 두 다항식 $P(x) = 3x^2 + 2x - 5$와 $Q(x) = x^2 - 4x + 7$의 합 $R(x)$를 구하세요.

풀이:

1. 같은 차수끼리 더합니다:

$$ R(x) = P(x) + Q(x) = (3x^2 + 2x - 5) + (x^2 - 4x + 7). $$

2. 계산하면:

$$ R(x) = (3x^2 + x^2) + (2x - 4x) + (-5 + 7) = 4x^2 - 2x + 2. $$

따라서 $R(x) = 4x^2 - 2x + 2$입니다.

예제 2: 다항식의 곱셈

문제: 두 다항식 $P(x) = x + 2$와 $Q(x) = x^2 - 3x + 4$의 곱 $R(x)$를 구하세요.

풀이:

1. 분배법칙을 사용하여 전개합니다:

$$ R(x) = P(x) \cdot Q(x) = (x + 2)(x^2 - 3x + 4). $$

2. $x$와 $2$를 각각 $Q(x)$에 곱합니다:

$$ R(x) = x(x^2 - 3x + 4) + 2(x^2 - 3x + 4). $$

3. 계산하면:

$$ R(x) = (x^3 - 3x^2 + 4x) + (2x^2 - 6x + 8) = x^3 - x^2 - 2x + 8. $$

따라서 $R(x) = x^3 - x^2 - 2x + 8$입니다.

예제 3: 다항식의 나눗셈

문제: 다항식 $P(x) = x^3 - 4x^2 + 6x - 8$를 $Q(x) = x - 2$로 나누었을 때, 몫과 나머지를 구하세요.

풀이:

1. $P(x)$를 $Q(x)$로 나누기 위해 다항식 나눗셈을 수행합니다:

$$ P(x) = (x - 2)(몫) + (나머지). $$

2. 첫 항 $x^3$을 $x$로 나눕니다:

$$ \frac{x^3}{x} = x^2. $$

3. $x^2$를 $x - 2$에 곱하고 $P(x)$에서 뺍니다:

$$ x^3 - 4x^2 + 6x - 8 - (x^3 - 2x^2) = -2x^2 + 6x - 8. $$

4. $-2x^2$을 $x$로 나눕니다:

$$ \frac{-2x^2}{x} = -2x. $$

5. $-2x$를 $x - 2$에 곱하고 뺍니다:

$$ -2x^2 + 6x - 8 - (-2x^2 + 4x) = 2x - 8. $$

6. $2x$를 $x$로 나눕니다:

$$ \frac{2x}{x} = 2. $$

7. $2$를 $x - 2$에 곱하고 뺍니다:

$$ 2x - 8 - (2x - 4) = -4. $$

8. 결과:

$$ 몫 = x^2 - 2x + 2, \quad 나머지 = -4. $$

따라서 몫은 $x^2 - 2x + 2$, 나머지는 $-4$입니다.

결론

다항식의 계산은 덧셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 기본 연산을 포함하며, 이를 통해 복잡한 다항식 문제를 해결할 수 있습니다. 위의 예제를 통해 다항식 계산의 핵심 원리를 이해하고 활용하는 방법을 익힐 수 있습니다.

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